拓扑不可区分性

对T₀空间（特别是豪斯多夫空间）而言，拓扑不可区分的概念是没有意义的，因此若要寻找有趣的例子，必须要在非T₀空间中才行。另一方面，由于正则性和正规性并不蕴涵T₀，所以可以找到一些有这些性质的例子。事实上，下面给出的例子就几乎都是完全正则的。

• 在不可分空间中，任意两个点都是拓扑不可区分的。
• 在伪度量空间中，两点是拓扑不可区分的，当且仅当在两点之间的距离为零。
• 在半赋范向量空间中，x ≡ y当且仅当‖x − y‖ = 0。
  • 举例来说，设L²（R）是一个拓扑空间，由所有从R映射至R的平方可积的可测函数所组成（详见L^p空间）。则在L²（R）内，函数f及g为拓扑不可区分的，当且仅当两个函数几乎处处相等。
• 在拓扑群中，x ≡ y，当且仅当x⁻¹y ∈ cl{e}，这里的cl{e}为当然子群的闭包；而其等价类则为cl{e}的陪集（cl{e}总会是个正规子群）。
• 一致空间推广了伪度量空间和拓扑群。在一致空间中，x ≡ y当且仅当有序对 (x, y)属于所有周围（entourage）。所有周围的交集正是用X上拓扑不可区分性来定义的等价关系。
• 设X有关于函数族${\displaystyle \{f_{\alpha }:X\to Y_{\alpha }\}}$ 的初拓扑。X中两个点x和y是拓扑不可区分的，如果${\displaystyle f_{\alpha }}$ 族不区分它们（就是说对所有${\displaystyle \alpha }$ ，${\displaystyle f_{\alpha }(x)=f_{\alpha }(y)}$ ）。
• 给定集合X上的任何等价关系，存在X上的拓扑，它的拓扑不可区分概念一致于这个等价关系。你可以简单选取这个等价关系为这个拓扑的基。这叫做X上的划分拓扑。

在空间X上的拓扑不可区分性可以从在X上的叫做特殊化预序的自然预序来复原。对于X中的点x和y这个预序定义为

x ≤ y 当且仅当x ∈ cl{y}

这里的cl{y}指示{y}的闭包。等价的说，x ≤ y如果x的邻域系统，指示为N_x，被包含在y的邻域系统内：

x ≤ y当且仅当N_x ⊂ N_y。容易看出在X上的这个关系是自反的和传递的，所以定义了预序。但是一般的说，这个预序不是反对称的。实际上，确定自≤的等价关系完全就是拓扑不可区分性的关系：

x ≡ y当且仅当x ≤ y并且y ≤ x。

拓扑空间被称为对称（或R₀）的，如果特殊化预序是对称的（就是说x ≤ y蕴涵y ≤ x）。在这种情况下，关系≤和≡是同一的。拓扑不可区分性在这些空间中表现良好并易于理解。注意这类空间包括所有正则空间和完全正则空间。

等价条件

有很多确定两个点是拓扑不可区分的等价方式。设X是拓扑空间并设x和y是X的点。把x和y的闭包分别指示为cl{x}和cl{y}，并把它们的邻域系统分别指示为N_x和N_y。则下列陈述是等价的：

• x ≡ y
• 对于每个X中的开集U，要么U包含x和y二者要么都不包含
• N_x = N_y
• x ∈ cl{y}并且y ∈ cl{x}
• cl{x} = cl{y}
• x ∈ ∩N_y并且y ∈ ∩N_x
• ∩N_x = ∩N_y
• x ∈ cl{y}并且x ∈ ∩N_y
• x属于包含y的所有开集和所有闭集
• 网或滤子会聚于x当且仅当它会聚于y

这些条件可以在X是对称空间的情况下简化。对于这些空间(特别是正则空间)，下列陈述是等价的：

• x ≡ y
• 对于每个开集U，如果x ∈ U则y ∈ U
• N_x ⊂ N_y
• x ∈ cl{y}
• x ∈ ∩N_y
• x属于包含y的所有闭集
• x属于包含y的所有开集
• 所有会聚于x的网或滤子会聚于y

等价类

要讨论x的等价类，为了方便，首先定义x的上闭集合和下闭集合。它们都是关于上述特殊化预序而定义的。

x的下部集合就是{x}的闭包：

${\displaystyle \mathop {\downarrow } x=\{y\in X:y\leq x\}={\textrm {cl}}\{x\}}$ ，而x上部集合是在x的邻域系统的交集：

${\displaystyle \mathop {\uparrow } x=\{y\in X:x\leq y\}=\bigcap {\mathcal {N}}_{x}}$ 。

x的等价类接着给出为交集

${\displaystyle [x]={\mathop {\downarrow } x}\cap {\mathop {\uparrow } x}}$ 。

因为↓x是包含x的所有闭集的交集而↑x是包含x的所有开集的交集，等价类[x]是包含x的所有开集和闭集的交集。

cl{x}和∩N_x二者都包含等价类[x]。一般的说，两个集合都会包含额外的点。但是在对称空间中(特别是在正则空间中)，这三个集合是一致的：

${\displaystyle [x]={\textrm {cl}}\{x\}=\bigcap {\mathcal {N}}_{x}}$ 。一般的说，等价类[x]会是闭集，当且仅当这个空间是对称的。

连续函数

设f : X → Y是连续函数。则对于任何X中的x和y有

x ≡ y蕴涵f(x) ≡ f(y)。逆命题一般为假(T₀空间有是平凡的商)。逆命题在X有引发自f的初拓扑的条件下为真。更一般的说，如果X有引发自映射族${\displaystyle f_{\alpha }:X\to Y_{\alpha }}$ 的初拓扑则

x ≡ y当且仅当f_α(x) ≡ f_α(y)对于所有α。可得出在乘积空间中两个元素是拓扑不可区分的，当且仅当每个它们的分量都是拓扑不可区分的。

因为拓扑不可分别性是在任何拓扑空间X上的等价关系，我们可以形成商空间KX = X/≡。空间KX被叫做柯尔莫哥洛夫商空间或X的T₀同一。事实上，空间KX是T₀（就是说所有点都是拓扑可区分的）。此外，通过商映射的特征性质，任何从X到T₀空间的连续映射f : X → Y通过商映射q : X → KX而因子化。

尽管商映射q一般不是同胚（因为它一般不是单射），它确实引发在X的拓扑和KX的拓扑之间的双射。直觉上说，柯尔莫果洛夫商不改变一个空间的拓扑。它只将点集精简化，直到点都成为拓扑可区分的。

• T₀空间
• 特殊化预序
• 不可区分者的同一性