初拓扑

一般拓扑学与数学的相关领域中,给定集合上的一族函数,其初拓扑(the initial topology)是使得这一族函数连续最粗糙拓扑。

子空间拓扑积拓扑都是初拓扑的特例。事实上,初拓扑可以看作是这两种结构的推广。

与初拓扑对偶的结构称为终拓扑

定义

给定集合 ,一族拓扑空间 ,与一族映射

 

 上的初拓扑 ,是使得

 

均为连续最粗糙拓扑。

更精确地说,初拓扑可以描述为由 子基英语subbase生成的拓扑,这里的  中的开集。集合 通常也被叫做“圆柱集合英语cylinder set”,如果指标集 只包含一个元素,那么 的全体开集都是圆柱集合。

实例

性质

特征性质

给出任意拓扑空间 ,X上的初拓扑依照上面所给的定义。则有以下性质成立:
  的映射 是连续的,当且仅当   是连续的。

Evaluation

从闭集分离点

 从闭集分离点,如果 中任意闭集 ,与任意不属于 的点  ,使得
 
这里的cl闭包算子

关于初拓扑有如下定理:
一族连续映射从闭集分离点,当且仅当the cylinder sets构成集合 的一个基。

从这个定理可以得到,如果 上有一族连续映射从闭集分离点,那么关于这族映射就存在一个初拓扑。反之是不成立的,因为初拓扑是由 为子基生成的拓扑,在这个定理中要求the cylinder sets是集合 的一个基。

参考资料