正规子群

群G的子群N是正规子群，如果它在共轭变换下不变；就是说对于每个N中元素n和每个G中的元素g，元素gng⁻¹仍在N中。我们写为

${\displaystyle N\triangleleft G\,\,\Leftrightarrow \,\forall \,n\in {N},\forall \,g\in {G}\ ,gng^{-1}\in {N}}$ 

下列条件等价于子群N在G中是正规子群。其中任何一个都可以用作定义：

1. N 在 G 的元素诱导的共轭变换下不变，即对于G中的所有g，gNg⁻¹ =N。
2. N 在 G 的元素诱导的共轭变换下的象集为自己的子集，即对于G中的所有g，gNg⁻¹ ⊆ N。
3. N在G中的左陪集的集合和右陪集的集合是一致的。
4. 对于G中的所有g，gN = Ng。
5. N是G的若干共轭类的并集。
6. G 中的任何两个元素，在相乘后是正规子群成员的关系下是可交换的，即 ${\displaystyle \forall g,h\in G,gh\in N\iff hg\in N}$ 。
7. 存在以N为核的G的群同态：${\displaystyle \exists \phi \in \mathrm {Hom} (G):\mathrm {ker} \phi =N}$ 。

注意条件（1）逻辑上弱于条件（2），条件（3）逻辑上弱于条件（4）。为此，条件（1）和条件（3）经常用来证明N在G中是正规子群，而条件（2）和（4）用来证明N在G中是正规子群的推论；而这些条件，尤其条件（7），可用于证明一个群不是单群。

给定一个群G，以及G的一个子群H，G的一个元素a，集合：

${\displaystyle aH=\left\{ax|x\in H\right\}}$ 称作H关于a的左陪集。a叫做aH的代表元。

类似地，可以定义H关于a的右陪集：

${\displaystyle Ha=\left\{xa|x\in H\right\}}$ 。

可以证明：对于G中的两个元素a、b，${\displaystyle (a^{-1}b\in H)\Longleftrightarrow (aH\cap bH\neq \varnothing )\Longleftrightarrow (aH=bH)}$ 。因此aH和bH只有两种关系：相等，或交集为空，即${\displaystyle aH=bH}$ 或者${\displaystyle aH\cap bH=\varnothing }$ 。

于是群G可以被分解成：

${\displaystyle G=\bigcup _{a\in G}aH}$ 

这个分解称作群G的左陪集分解。类似地有群G的右陪集分解：

${\displaystyle G=\bigcup _{a\in G}Ha}$ 

进一步地，可以证明由${\displaystyle a\sim b\Longleftrightarrow a^{-1}b\in H}$ 所定义的关系是一个等价关系，集合中的每个等价关系都可确定一个等价类，因此每个${\displaystyle aH}$ 是一个等价类。每个${\displaystyle aH}$ 中含有的元素个数是相等的。

此外，群G的左陪集分解与群G的右陪集分解间存在同构：

${\displaystyle \tau :aH\mapsto Ha^{-1}}$ 

因此H的左陪集个数和右陪集个数是相等的，叫做H对G的指数。

对于一般的H，集合${\displaystyle \left\{aH|a\in G\right\}}$ 关于子集的积并不是一个群。对于G中的元素a、b，子集的积${\displaystyle aH\times bH=abH}$ ，但对于${\displaystyle a^{\prime }\in aH,b^{\prime }\in bH}$ ，不一定有${\displaystyle a^{\prime }H\times b^{\prime }H=abH}$ 。群G的正规子群或不变子群H使得${\displaystyle \left\{aH|a\in G\right\}}$ 关于子集的积是这个群的子群。这时H的左陪集和右陪集是一样的，统称陪集。陪集组成的群叫做G关于H的商群，记作${\displaystyle {\frac {G}{H}}}$ 。商群的目数等于H对G的指数。

• {e}和G自身总是G的正规子群，这两个正规子群又称作G的平凡正规子群，而其他所有的正规子群都是非平凡的正规子群。如果G只有平凡正规子群，就叫做简单群。
• 群G的中心是G的正规子群。
• 群G的交换子群是G的正规子群。
• 一个阿贝尔群（或交换群）的所有子群都是它的正规子群，因为显然有gH = Hg。不是阿贝尔群，但全部子群都是正规子群的群叫做哈密尔顿群（Hamiltonian group），阶数最小的例子是四元数单位${\displaystyle \pm 1,\pm i\pm j,\pm k}$ 对乘法构成的群${\displaystyle Q_{8}}$ 。
• 任何有限维欧几里得空间中，平移群都是欧几里得群的正规子群。比如说在3维空间中，先旋转，平移，再作原来旋转的逆，结果是原来的平移。先做镜面对称，平移，再作原来镜面对称的逆，还是原来的平移。将平移按长度分类，就得到一个等价类。平移群是各种长度的平移的并集。

• 满同态保持正规子群的性质，逆映射也是一样。

• 直积保持正规子群的性质。
• G的正规子群的正规子群不一定是G的正规子群，即是说正规子群没有传递性。但是，G的正规子群的特征子群总是G的正规子群。
• G的所有2阶的子群都是正规子群。G中每个阶为n的子群都包含一个G的正规子群K，它对G的阶整除n!。特别地，当p是|G|的最小素因数时，G的所有p阶的子群都是正规子群。

• 群
• 子群
• 正规闭包
• 中心化子和正规化子
• 特征子群
• 等价类
• 可解群
• 同构基本定理
• 理想