共轭闭包

在群论中，群 G 的子集 S 的共轭闭包是生成自 S^G 的 G 的子群，即 S^G 在群运算下的闭包，这里的 S^G 是 S 元素的共轭的集合：

S^G = {g⁻¹sg | g ∈ G 并且 s ∈ S}

S 的共轭闭包记为 <S^G> 或 <S>^G。

S 的共轭闭包总是 G 的正规子群；事实上，它是包含 S 的最小的 G 的正规子群。为此，共轭闭包也叫做 S 的正规闭包或者 S 生成的正规子群。正规闭包也可以刻画为包含 S 的所有 G 的正规子群的交集。如果 S 已经是正规子群则它等于它的正规闭包。

如果 S ${\displaystyle =\varnothing }$，则 S 的正规闭包是平凡群。如果 S = {a} 由一个元素构成，则共轭闭包是 a 和共轭于 a 的所有 G 的元素生成正规子群。所以，如果 G 是单群，G 是 G 的任何非单位元元素 a 的共轭闭包。

对比于带有 S 的正规化子的 S 的正规闭包，它是其中 <S> 自身为正规的“最大”的 G 的子群。（在更大的群 G 中不必须是正规的，就像 <S> 在它的共轭/正规闭包中不必须是正规的一样。）