中心化子和正规化子

中心化子

令${\textstyle G}$  为一个群, ${\textstyle S\subseteq G}$ , 我们定义一个集合搜集所有在${\displaystyle G}$  中与每一个 ${\displaystyle S}$  中的元素 ${\displaystyle s}$ 可交换的元素，我们记做 ${\displaystyle C_{G}(S)}$ ；换句话说，${\textstyle C_{G}(S)=\{x\in G\;|\;\forall s\in S,\;xs=sx\}}$ 。若${\displaystyle H}$  为 ${\displaystyle G}$ 的子群，则${\displaystyle C_{H}(S)=C_{G}(S)\cap H}$ 。

特别的，当 ${\textstyle S=\{a\}}$ ，我们会简化 ${\textstyle C_{G}(S)=C_{G}(a)}$ 。

群的中心

群${\displaystyle G}$ 的中心是${\textstyle C_{G}(G)}$ ，通常记作 ${\displaystyle Z(G)}$ 。一个群的中心既是正规子群也是交换群，而且有很多其它重要属性。我们可以将a的中心化子视作最大的（用包含关系为序）G的子群H，满足a属于其中心Z(H)的条件。

正规化子

一个相关的概念是，S在G中的正规化子，记作N_G(S)或者N(S)。正规化子定义为N(S) = {x属于G : xS = Sx}。同样的是，N(S)可以视作G的子群。正规化子的名字来源于如果我们令<S>为一个由S生成的子群，则N(S)是最大的满足包含<S>为其正规子群的G的子群。<S>在其中为正规子群的最小的G的子群称为共轭闭包。

如果N_G(H) = H，则G的子群H称为G的自正规化子群。

若G是交换群，则任何G的子集的中心化子和正规化子就是G的全部；特别是，一个群可交换，当且仅当Z(G) = G。

若a和b是G的任意元素，则a在C(b)中，当且仅当b在C(a)中，这有当且仅当a和b可交换。 若S = {a}则N(S) = C(S) = C(a)。

C(S)总是N(S)的正规子群：若c属于C(S)而n属于N(S)，我们要证明n ⁻¹cn属于C(S)。为此，取s属于S并令t = nsn ⁻¹。则t属于S，所以ct = tc。注意到ns = tn；以及n ⁻¹t = sn ⁻¹。我们有

(n ⁻¹cn)s = (n ⁻¹c)tn = (n ⁻¹(tc)n = (sn ⁻¹)cn = s(n ⁻¹cn)

这也就是要证明的命题。

若H是G的子群，则N/C定理表明因子群N(H)/C(H)同构于Aut(H)（H的自同构群）的子群。

因为N_G(G) = G，N/C定理也意味着G/Z(G)同构于Inn(G)（由所有G的内自同构组成的Aut(G)的子群）。

如果我们通过T(x)(g) = T_x(g) = xgx ⁻¹定义群同态 T : G → Inn(G)，则我们可以用Inn("G")在G上的群作用来表述N(S)和C(S)：S在Inn(G)中的定点子群就是T(N(S))，而Inn(G)中固定S的子群就是T（C(S)）。

若G为有限群，考虑G共轭到自身的群作用，并应用轨道-稳定点定理，

G的核为${\displaystyle |\ker \rho |=|Z(G)|}$ 

G的轨道为${\displaystyle |G\cdot x_{i}|=|G:C_{G}(x_{i})|}$ 

类方程：

${\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i}|G:C_{G}(x_{i})|}$