一般线性群

如果 V 是在域 F 上的向量空间，V 的一般线性群，写为GL(V)或Aut(V)，是 V 的所有自同构的群，就是说所有双射线性变换 V → V 的集合，和与之一起的函数复合作为群运算。如果 V 有有限维 n，则GL(V)和GL(n, F)是同构的。这个同构不是规范的；它依赖于在 V 中对基的选择。给定 V 的一个基 (e₁, ..., e_n)和GL(V)中自同构 T，有着

${\displaystyle Te_{k}=\sum _{j=1}^{n}a_{jk}e_{j}}$ 

对于某些 F 中的常量 a_jk；对应于 T 的矩阵就是由 a_jk作为元素的矩阵。

以类似的方式，对于交换环 R 群GL(n, R)可以被解释为 n 秩的自由 R-模的自同构的群。还可以对任何模定义GL(M)，但是这一般不同构于GL(n, R)（对于任何 n）。

在域 F 上矩阵是可逆的，当且仅当它的行列式是非零的。因此GL(n, F)的一个可替代定义是带有非零行列式的矩阵。

在交换环 R 上，必须稍微小心一下：在 R 上的矩阵是可逆的，当且仅当它的行列式是 R 中的可逆元，就是说它的行列式在 R 中是可逆的。因此GL(n, R)可以被定义为行列式为可逆元的矩阵的群。

在非交换环 R 上，行列式表现不好。在这种情况下，GL(n, R)可以定义为矩阵环 M(n, R)的单位群。

实数情况

在实数域上的一般线性群GL(n,R)是 n²维实数李群。要得出这个结论，注意所有 n×n 实数矩阵的集合 M_n(R)形成了 n²维实向量空间。子集GL(n,R)由行列式为非零的矩阵构成。行列式是多项式映射，因此GL(n,R)是 M_n(R)的开仿射子簇（M_n(R)在扎里斯基拓扑下的非空开子集），并且因此^[2]是相同维的光滑流形。

GL(n,R)的李代数由所有 n×n 实数矩阵构成并带有交换子充当李括号。

作为一个流形，GL(n,R)不是连通的而是由两个连通单元构成：有正行列式的矩阵们和有负行列式的矩阵们。单位分量（Identity component（英语：Identity component））为GL⁺(n, R)，由带有正行列式的实数 n×n 矩阵构成。它也是 n²维李群；它有同GL(n,R)一样的李代数。

群GL(n,R)也是非紧致的。GL(n, R)的极大紧子群^[3]是正交群 O(n)，而GL⁺(n, R)的极大紧子群是特殊正交群 SO(n)。至于SO(n)，群GL⁺(n, R)不是单连通的（除了 n=1的时候），然而有基本群，它对 n=2同构于 Z 或者对 n>2同构于 Z₂。

复数情况

在复数集上的一般线性群GL(n,C)是复数维 n²的复数李群。作为实数李群它有2n²维。所有实数矩阵的集合形成了实数李子群。

对应于GL(n,C)的李代数由所有 n×n 复数矩阵组成带有交换子充当李括号。

不像实数情况，GL(n,C)是连通的。部分的因为复数的乘法群 C^×是连通的。群流形GL(n,C)不是紧致的；而它的极大紧子群是酉群 U(n)。至于U(n)，群流形GL(n,C)不是单连通的但有同构于 Z 的基本群。

如果 F 是有 q 个元素的有限域，则我们有时写GL(n, q)替代GL(n, F)。在 p 是质数的时候，GL(n, p)是群Z_pⁿ的外自同构群，并且还是自同构群，因为Z_pⁿ是阿贝尔群，所以内自同构群是平凡的。

GL(n, q)的阶是：

(qⁿ - 1)(qⁿ - q)(qⁿ - q²)… (qⁿ - q^n-1)

这可以通过计数矩阵的可能纵列数来证明：第一列可以是除了零向量的任何向量；第二列可以是除了第一列的倍数的任何向量；并且一般的说第 k 列可以是非前 k-1列的线性张成的任何向量。

例如，GL(3,2)有阶 (8-1)(8-2)(8-4)=168。它是Fano平面和群Z₂³的自同构群。

更一般的说，可以计数 F 上的格拉斯曼空间的点：换句话说就是给定维 k 的子空间的数目。这只要求找到一个这种子空间的稳定子子群（在那个页面中以分块矩阵形式描述），并通过轨道-稳定子定理划分成刚才给出的公式。

这些公式有联系于格拉斯曼空间的舒伯特分解，并且是复格拉斯曼空间的贝蒂数的q-analog。这是导致韦伊猜想的线索之一。

特殊线性群SL(n, F)是带有行列式为1的所有矩阵的群。它们是特殊的因为它们位于子簇之上–它们满足一个多项式方程（因为行列式是元素的多项式）。这种类型的矩阵形成一个群，因为两个矩阵的乘积的行列式是每个矩阵的行列式的乘积。SL(n, F)是GL(n, F)的正规子群。

如果我们把 F（排除0）的乘法群写为 F^×，则行列式是群同态

det: GL(n, F) → F^×。

这个映射的核就是特殊线性群。通过第一同构定理我们得出GL(n,F)/SL(n,F) 同构于 F^×。事实上，GL(n, F)可以写为SL(n, F)与 F^×的半直积：

GL(n, F) = SL(n, F) ⋊ F^×

在 F 是 R 或 C 的时候，SL(n)是 n² − 1维的GL(n)的李群。SL(n)的李代数由所有在 F 上的 n×n 矩阵构成带有成为零的迹数。李括号给出为交换子。

特殊线性群SL(n, R)可以被刻画为保持体积和定向的 Rⁿ的线性变换的群。

群SL(n, C)是单连通的而SL(n, R)不是。SL(n, R)有同GL⁺(n, R)一样的基础群，就是对 n=2为 Z 或者对 n>2为 Z₂。

对角子群

所有可逆对角矩阵的集合形成了同构于 (F^×)ⁿ的GL(n, F)的子群。在域如 R 和 C 中，这些对应于缩放这个空间；也就是扩张或收缩它。

标量矩阵是作为常量倍的单位矩阵的对角矩阵。所有非零标量矩阵的集合形成了同构于 F^×的GL(n, F)的子群。这个群是GL(n, F)的中心。特别是，它是正规阿贝尔子群。

SL(n, F)的中心是带有单位行列式的所有标量矩阵的集合，并同构于在域 F 中 n 次单位根的群。

典型群

所谓的典型群是保持某种在向量空间 V 上的双线性形式的GL(V)的子群。这包括

• 正交群 O(V)，它保持在 V 上的非退化二次型，
• 辛群 Sp(V)，它保持在 V 上的辛形式（非退化反对称2形式），
• 酉群 U(V)，它在 F = C 的时候保持在 V 上的非退化hermitian形式。

这些群提供了李群的重要例子。

射影线性群

射影线性群 PGL(n, F)和射影特殊线性群 PSL(n,F)是GL(n,F)和SL(n,F)模以中心（它由某些倍数的单位矩阵的构成）的商群。

仿射群

仿射群 Aff(n,F)是通过在 Fⁿ中的转换的GL(n,F)的群扩张，它可以写为半直积：

Aff(n, F) = GL(n, F) ⋉ Fⁿ

这里的GL(n, F)自然方式作用在 Fⁿ上。仿射群可以被看作在向量空间 Fⁿ底层的仿射空间的所有仿射变换的群。

它有类似于一般线性群的其他子群的结构：例如，特殊仿射群是半直积SL(n, F) ⋉ Fⁿ定义的子群，而庞加莱群是与洛伦兹群 O(1,3,F) ⋉ Fⁿ关联的仿射群。

无限一般线性群或稳定一般线性群是包含${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)\to \operatorname {GL} (n+1,F)}$ 为上左分块矩阵的方向极限。它指示为要么${\displaystyle \operatorname {GL} (F)}$ 要么${\displaystyle \operatorname {GL} (\infty ,F)}$ ，并可以解释为只与单位矩阵差异有限多个位置的可逆无限矩阵的集合。

它被用在代数K-理论中定义K₁，并且在实数上有博特周期性定理贡献的被良好理解了的拓扑。

1. ^ 这里的环被假定为符合结合律和有乘法单位元的。
2. ^ 因为扎里斯基拓扑是比度量拓扑更粗；等价的说，多项式映射是连续的。
3. ^ 极大紧子群不是唯一而是本质唯一的。

• 群表示论
• 有限单群列表
• SL₂(R)
• SL₂(R)的表示论

• "GL(2,p) and GL(3,3) Acting on Points" by Ed Pegg, Jr.，The Wolfram Demonstrations Project，2007.