可逆元

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${\displaystyle R\,}$ 的可逆元组成了一于乘法下的群${\displaystyle U(R)\,}$  ，称做 ${\displaystyle R\,}$ 的可逆元群(或单位群)。可逆元群U(R)有时亦被标记成R^*或R^×。

在一可交换单作环R内，可逆元群U(R)以乘法作用于R上头。此一作用的轨道(orbit)被称为结合集合；换句话说，存在一于R上的等价关系 ~ ，且当r~s时，表示存在一可逆元u使得r=us。

U是一由环范畴至群范畴的函子：每一个环同态 f : R → S 都可导出一群同态U(f) : U(R) → U(S)，当f会将可逆元映射至可逆元时。此一函数子有为整数群环结构的左伴随。

一个环R是一个除环当且仅当R^* = R \ {0}。

• 在整数环${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 里，可逆元为±1。其每一轨道内都有两个元素n和−n。

• 任一单位根均是某一单作环${\displaystyle R}$ 内的可逆元。（若${\displaystyle r}$ 是一单位根，且${\displaystyle r^{n}=1}$ ，则${\displaystyle r^{-1}=r^{n-1}}$ 亦为${\displaystyle R}$ 的元素）。
• 在代数数论里，狄利克雷单位定理证明了许多代数整数环内可逆元的存在域。例如，在环${\displaystyle \mathbb {Z} ({\sqrt {5}})}$ ，${\displaystyle ({\sqrt {5}}+2)({\sqrt {5}}-2)=1}$ ，因此${\displaystyle ({\sqrt {5}}+2),({\sqrt {5}}-2),1}$ 都是可逆元。
• 在环${\displaystyle M(n,F)}$ ，于一体${\displaystyle F}$ 上的${\displaystyle n\times n}$ 矩阵内，其可逆元恰好就是可逆矩阵。