正交群

实数域R上的正交群O(n,R)和特殊正交群SO(n,R)在不会引起误会时经常记为O(n)和SO(n)。他们是n(n-1)/2 维实紧李群。O(n,R)有两个连通分支，SO(n,R)是单位分支，即包含单位矩阵的连通分支。

实正交群和特殊正交群有如下的解释：

O(n,R)是欧几里得群E(n)的子群，E(n)是Rⁿ的等距群；O(n,R)由其中保持原点不动等距组成。它是以原点为中心的球面 (n = 3)、超球面和所有球面对称的对象的对称群。

SO(n,R)是E⁺(n)的子群，E⁺(n)是“直接”等距，即保持定向的等距；SO(n,R)由其中保持原点不动的等距组成。它是以原点为中心的球面和所有球面对称对象的旋转群。

{ I, −I }是O(n,R)的正规子群并是特征子群；如果n是偶数，对SO(n,R)也对。如果n是奇数，O(n,R)是SO(n,R)和{ I, −I }的直积。k重旋转循环群C_k对任何正整数k都是O(2,R)和SO(2,R)的正规子群。

取合适的正交基，等距是

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}}}$ 

的形式。这里矩阵R₁,...,R_k是2×2旋转矩阵。

圆的对称群是O(2,R)，也称为Dih(S¹)，这里S¹是模长1复数的乘法群。

SO(2,R) (作为李群)同构于圆S¹（圆群）。这个同构将复数exp(φi) = cos(φ) + i sin(φ)映到正交矩阵

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\phi )&-\sin(\phi )\\\sin(\phi )&\cos(\phi )\end{bmatrix}}}$ 。

群SO(3,R)，视为3维空间的旋转，是科学和工程中最重要的群。参见旋转群和3×3旋转矩阵利用轴和角的一般公式

在代数拓扑方面，对n > 2，SO(n,R)的基本群是2阶循环，而自旋群Spin(n)是其万有覆叠。对n = 2基本群是无限循环而万有覆叠对应于实数轴（旋量群Spin(2)是惟一的2重复叠）

李群O(n,R)和SO(n,R的李代数由斜对称实n×n矩阵组成，李括号由交换子给出。这个李代数经常记为 o(n,R)或so(n,R)。

保持原点的3维同构

保持R³原点不动的同构，组成群O(3,R)，能分成如下几类：

• SO(3,R):
  • 恒同
  • 绕一个过原点的轴转动不等于180°
  • 绕一个过原点的轴转动180°
• 以上与关于原点的点反演（x映到−x）复合，分别为：
  • 关于原点的点反演
  • 绕一轴旋转一个不等于180°的角度，与关于过垂直于轴且过原点的平面的反射的复合
  • 关于一个过原点的平面的反射

特别地指出4阶和5阶正交群，在更宽泛的意义下6阶也是，称为反射旋转。类似的参见欧几里得群。

共形群

作为保持距离的同构，正交变换也保角，从而是共形变换，但是不是所有的共形变换都是正交变换。Rⁿ的线性共形映射构成的群记作CO(n)，由正交群和收缩的乘积给出。如果n是奇数，两个子群不相交，他们是直积：${\displaystyle \operatorname {CO} (2n+1)=\operatorname {O} (2n+1)\times \mathbf {R} }$ ；如果n是偶数，两个子群的交是${\displaystyle \pm 1}$ ，所以这不是直积，但这是和正收缩子群的直积：${\displaystyle \operatorname {CO} (2n)=\operatorname {O} (2n)\times \mathbf {R} ^{+}\;}$ 。

我们可以类似地定义CSO(n)，这时总有${\displaystyle \operatorname {CSO} (n):=\operatorname {CO} (n)\cap \operatorname {GL} _{+}(n)=\operatorname {SO} (n)\times \mathbf {R} ^{+}\;}$ 。

复数域C上，O(n,C)和SO(n,C)是C上n(n-1)/2维的李群，这意味着实维数是n(n-1)。O(n,C)有两个连通分支，SO(n,C)是包含恒同矩阵的分支。当n ≥ 2时，这些群非紧。

和实情形一样，SO(n,C)不是单连通的，对n > 2 SO(n,C)的基本群是2阶循环群，而SO(2,C)的基本群是无穷循环群。

O(n,C)和SO(n,C)的复李代数由斜对称复n×n矩阵组成，李括号由交换子给出。

低维数

低维实正交群是熟悉的空间：

${\displaystyle {\begin{aligned}O(1)&=\left\{\pm 1\right\}=S^{0}\\SO(1)&=\left\{1\right\}=*\\SO(2)&=S^{1}\\SO(3)&=\mathbf {RP} ^{3}\end{aligned}}}$ 

由于三维旋转在工程中有重要应用，产生了很多SO(3)上的卡。

同伦群

正交群的同伦群和球面的同伦群密切相关，从而一般是很难计算的。

但是我们可以计算出稳定正交群的同伦群（也称为有限正交群），定义为包含序列

${\displaystyle O(0)\subset O(1)\subset O(2)\subset \cdots \subset O=\bigcup _{k=0}^{\infty }O(k)}$ 

的正向极限（因为包含都是闭包含，从而是上纤维化，也能理解成并）。

${\displaystyle S^{n}}$ 是${\displaystyle O(n+1)}$ 的齐性空间，从而有如下纤维丛：

${\displaystyle O(n)\to O(n+1)\to S^{n},}$ 

可以理解为：正交群${\displaystyle O(n+1)}$  传递地作用于单位球面${\displaystyle S^{n}}$ 上，一点（看作一个单位向量）的稳定子群是其正交补的正交群，这是第一维的正交群。映射${\displaystyle O(n)\to O(n+1)}$ 是自然包含。

从而包含${\displaystyle O(n)\to O(n+1)}$ 是(n-1) -连通的，故同伦群稳定，对${\displaystyle n>k+1}$ 有${\displaystyle \pi _{k}(O)=\pi _{k}(O(n))}$ ，所以稳定空间的同伦群等于非稳定空间的低维同伦群。

通过博特周期性定理，${\displaystyle \Omega ^{8}O\simeq O}$ ，从而O的同伦群以8为周期，即 ${\displaystyle \pi _{k+8}O=\pi _{k}O}$ ，这样我们只要计算出最低8个同伦群就算出了所有群。

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}O&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{1}O&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{2}O&=0\\\pi _{3}O&=\mathbf {Z} \\\pi _{4}O&=0\\\pi _{5}O&=0\\\pi _{6}O&=0\\\pi _{7}O&=\mathbf {Z} \\\end{aligned}}}$ 

和KO-理论的关系

通过cluching construction，稳定空间O的同伦群和稳定球面上的向量丛等价（同构的意义下），提高一个维数：${\displaystyle \pi _{k}O=\pi _{k+1}BO}$ 。

设${\displaystyle KO=BO\times \mathbf {Z} =\Omega ^{-1}O\times \mathbf {Z} }$ （使得${\displaystyle \pi _{0}}$ 满足周期性），我们得到：

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}KO&=\mathbf {Z} \\\pi _{1}KO&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{2}KO&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{3}KO&=0\\\pi _{4}KO&=\mathbf {Z} \\\pi _{5}KO&=0\\\pi _{6}KO&=0\\\pi _{7}KO&=0\\\end{aligned}}}$ 

同伦群的计算和解释

低维群

最初的几个同论群可以用低维群的同论群具体的描述。

• ${\displaystyle \pi _{0}(O)=\pi _{0}(O(1))=\mathbf {Z} /2}$ 保持/反定向（这个类存留到${\displaystyle O(2)}$ 从而稳定）

${\displaystyle SO(3)=\mathbf {RP} ^{3}=S^{3}/(\mathbf {Z} /2)}$ 得出：

• ${\displaystyle \pi _{1}(O)=\pi _{1}(SO(3))=\mathbf {Z} /2}$ 即自旋群
• ${\displaystyle \pi _{2}(O)=\pi _{2}(SO(3))=0}$ ，有到${\displaystyle \pi _{2}(SO(4))}$ 的满射，从而后一个群消失。

李群

由李群一般性事实，${\displaystyle \pi _{2}G}$ 总消失，${\displaystyle \pi _{3}G}$ 是自由阿贝尔群。

向量丛

从向量丛的观点来看，${\displaystyle \pi _{0}(KO)}$ 是${\displaystyle S^{0}}$ 上的向量丛，具有两个点。从而在每个点上，丛是平凡的，这个丛的非平凡性是两个点上向量空间的维数之差，所以

${\displaystyle \pi _{0}(KO)=\mathbf {Z} }$ 是维数。

环路空间

利用博特周期性中环路空间具体的描述，我们可以将高维同伦群理解为容易分析的低维空间的同伦。利用${\displaystyle \pi _{0}}$ 、O，以及O/U有两个分支，${\displaystyle KO=BO\times \mathbf {Z} }$ 和${\displaystyle KSp=BSp\times \mathbf {Z} }$ 有${\displaystyle \mathbf {Z} }$ 个分支，其实是连通的。

同伦群的解释

一小部分结论：^[1]

• ${\displaystyle \pi _{0}(KO)=\mathbf {Z} }$ 是维数
• ${\displaystyle \pi _{1}(KO)=\mathbf {Z} /2}$ 是定向
• ${\displaystyle \pi _{2}(KO)=\mathbf {Z} /2}$ 是自旋
• ${\displaystyle \pi _{4}(KO)=\mathbf {Z} }$ 是拓扑量子场理论

令${\displaystyle F=\mathbf {R} ,\mathbf {C} ,\mathbf {H} ,\mathbf {O} }$ ，以及${\displaystyle L_{F}}$ 为射影线${\displaystyle \mathbf {FP} ^{1}}$ 上的重复线丛，${\displaystyle [L_{F}]}$ 是其K-理论。注意到${\displaystyle \mathbf {RP} ^{1}=S^{1},\mathbf {CP} ^{1}=S^{2},\mathbf {HP} ^{1}=S^{4},\mathbf {OP} ^{1}=S^{8}}$ ，这些得出相应球面上的向量丛，以及：

• ${\displaystyle \pi _{1}(KO)}$ 由${\displaystyle [L_{\mathbf {R} }]}$ 生成
• ${\displaystyle \pi _{2}(KO)}$ 由${\displaystyle [L_{\mathbf {C} }]}$ 生成
• ${\displaystyle \pi _{4}(KO)}$ 由${\displaystyle [L_{\mathbf {H} }]}$ 生成
• ${\displaystyle \pi _{8}(KO)}$ 由${\displaystyle [L_{\mathbf {O} }]}$ 生成

正交群也能定义在有限域${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ 上，这里${\displaystyle q}$ 是一个素数${\displaystyle p}$ 的幂。在这样的域上定义正交群，偶数维时有两类：${\displaystyle O^{+}(2n,q)}$ 和${\displaystyle O^{-}(2n,q)}$ ；奇数维有一类：${\displaystyle O(2n+1,q)}$ 。

如果${\displaystyle V}$ 是正交群${\displaystyle G}$ 作用的向量空间，它可以写成正交直和：

${\displaystyle V=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{m}\oplus W}$ ，

这里${\displaystyle L_{i}}$ 是双曲线而${\displaystyle W}$ 不包含奇异向量。如果${\displaystyle W=0}$ ，那么${\displaystyle G}$ 是正类型；若${\displaystyle W=<w>}$ 那么${\displaystyle G}$ 有偶维数；若${\displaystyle W}$ 有维数2，则${\displaystyle G}$ 是负类型。

在n = 1的特例，${\displaystyle O^{\epsilon }(2,q)}$ 是阶为${\displaystyle 2(q-\epsilon )}$ 的二面体群。

当特征大于2时，记O(n,q) = { A ∈ GL(n,q) : A·A^t=I }。关于这些群的阶数我们有以下公式

${\displaystyle |O(2n+1,q)|=2q^{n}\prod _{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})}$ 。

如果${\displaystyle -1}$ 是${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ 中的平方元素

${\displaystyle |O(2n,q)|=2(q^{n}-1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})}$ 。

如果${\displaystyle -1}$ 不是${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ 中的平方元素

${\displaystyle |O(2n,q)|=2(q^{n}+(-1)^{n+1})\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})}$ 。

对偶数维正交群，迪克森不变量是从正交群到Z/2Z的同态，是0或1取决于一个元素是偶数个还是奇数个反射的复合。在特征不等于2的域上迪克森不变量和行列式等价：行列式等于−1的迪克森不变量次幂。

在特征2的域上，行列式总为1，所以迪克森不变量给出了额外的信息。在特征2域上许多作者定义特殊正交群为迪克森不变量为0的元素，而不是行列式为1。

迪克森不变量也能对所有维数的克利福德群和Pin群类似地定义。

特征2域上的正交群常常有不同的表现。这一节列出一些不同：

• 任何域上的任何正交群都是由反射生成，惟一的例外是两个元素的域上的维特指标为2的4维向量空间（Grove 2002，Theorem 6.6 and 14.16）。注意特征2域上的反射定义稍不同。特征2域，垂直于一个向量u的反射将v映为v+B(v,u)/Q(u)·u，这里B是一个双线性形式，Q是和正交矩阵相连的二次形式。而通常的豪斯霍尔德变换是将v映到v-2·B(v,u)/Q(u)·u，当奇特征和零特征时与比较两者不同。

• 特征2时正交群的中心总是1阶，而不是2阶。

• 在特征2的奇维数2n+1时，完全域上的正交群和2n维辛群相同。事实上特征2时的辛形式时可交换的，而维数为奇数故总有一个1维的核，模去核的商是一个2n维辛空间，正交群作用在它上面。

• 在特征2的偶维数，正交群是辛群的一个子群，因为此时二次型的辛双线性形式也是可交换的。

旋量模是一个从域F上正交群到域F的乘法群模去平方元素

F^*/F^*2

的同态，将关于模长为n向量的反射映到F^*/F^*2中的n。

旋量模对实数域上的正交群是平凡的，但是其它域上常常不平凡，譬如实数域上不定二次型定义的正交群。

代数群的伽罗瓦上同调理论，引入了一些更深入的观点。它们有解释的价值，特别是二次型理论的联系； 但就目前所发现的现象而言，大部分都是“马后炮”。第一个观点是一个域上的二次型或者一个正交群的扭曲形式（张量）可以与伽罗瓦H¹等同起来。作为一个代数群，正交群一般不是连通或单连通的；第二个观点是引入自旋现象，但前一个和判别式相联系。

一个旋量模的“spin”名字可以用与自旋群（更准确地pin群）的一个联系来解释。这种方法现在可以马上用伽罗瓦上同调（引入克利福德代数的术语）来解释。正交群的自旋群覆叠给出了一个代数群的短正合列：

${\displaystyle 1\rightarrow \mu _{2}\rightarrow Pin_{V}\rightarrow O_{V}\rightarrow 1}$ 

这里μ₂是单位根的代数群；在一个特征非2的域上，粗略地看，和作用平凡的两元素群相同。

从H⁰（就是取值于F中点的群O_V(F)）到H¹(μ₂)的连接同态本质上是spinor模，因为 H¹(μ₂)同构于域模去平方元素的乘法群。

正交群的H¹到自旋群覆叠的核的H²也存在连接同态。因上同调是非阿贝尔的，所以，至少用普通定义，这是我们能走得最远的。

物理中，特别是在Kaluza-Klein紧化领域，找出正交群的子群非常重要。主要结论如下：

${\displaystyle O(n)\supset O(n-1)}$ 

${\displaystyle O(2n)\supset SU(n)}$ 

${\displaystyle O(2n)\supset USp(n)}$ 

${\displaystyle O(7)\supset G_{2}}$ 

正交群O(n)也是一些李群的重要子群：

${\displaystyle SU(n)\supset O(n)}$ 

${\displaystyle USp(2n)\supset O(n)}$ 

${\displaystyle G_{2}\supset O(3)}$ 

${\displaystyle F_{4}\supset O(9)}$ 

${\displaystyle E_{6}\supset O(10)}$ 

${\displaystyle E_{7}\supset O(12)}$ 

${\displaystyle E_{8}\supset O(16)}$ 

群O(10)在超弦理论中非常重要，因为它是10维时空的对称群。

• 旋转群, SO(3,R)
• SO(8)
• 广义正交群
• 酉群
• 辛群
• 有限单群列表
• 单李群列表

1. ^ John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105. [2008-10-18]. （原始内容存档于2021-02-11）. 

• Grove, Larry C., Classical groups and geometric algebra, Graduate Studies in Mathematics 39, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2002, ISBN 978-0-8218-2019-3, MR1859189 

• John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• John Baez on Octonions （页面存档备份，存于互联网档案馆）