群的直和

如果 G 是子群 H 和 K 的直和，则我们写为 G = H + K；如果 G 是子群集合 {H_i} 的直和，我们经常写为 G = ∑H_i。不严格的说，直和同构于子群的弱直积。

在抽象代数中，这种构造方法可以推广为向量空间、模和其他结构的直和；详情参见条目直和。

这个符号是符合交换律的；所以在两个子群的直和的情况下，G = H + K = K + H。它还是符合结合律的，在如果 G = H + K 并且 K = L + M 则 G = H + (L + M) = H + L + M 的意义上。

可以表达为非平凡子群的直和的群被叫做“可分解”的；否则叫做“不可分解”的。

如果 G = H + K，则可以证明:

• 对于所有 H 中的 h 和 K 中的 k，有 h*k = k*h。
• 对于所有 G 中的 g，存在唯一的 H 中的 h 和 K 中的 k 使得 g = h*k。
• 有直和在商群中的消除，即 (H + K)/K 同构于 H。

上述断言可以推广到 G = ∑H_i 的情况，这里的 {H_i} 是子群的有限集合。

• 如果 i ≠ j，则对于所有 H_i 中的 h_i 和 H_j 中的 h_j，有着 h_i * h_j = h_j * h_i。
• 对于每个 G 中的 g，有唯一的 {h_i ∈ H_i} 使得

g = h₁*h₂* ... * h_i * ... * h_n。

• 有直和在商群中的消除；即 ((∑H_i) + K)/K 同构于 ∑H_i。

注意类似于直积，这里的每个 g 可以唯一的表达为

g = (h₁,h₂, ..., h_i, ..., h_n)。

因为 h_i * h_j = h_j * h_i 对于所有 i ≠ j，可推出在直和中的元素的乘积同构于对应的在直积中的元素的乘积；因此对于子群的有限集合，∑H_i 同构于直积 ×{H_i}。

直和对于群不是唯一的；例如在克莱因四元群 V₄ = C₂ × C₂ 中，我们有

V₄ = <(0,1)> + <(1,0)> 和

V₄ = <(1,1)> + <(1,0)>。

但是，Remak-Krull-Schmidt定理声称给定有限群 G = ∑A_i = ∑B_j，这里的每个 A_i 和每个 B_j 都是不平凡的并且不可分解的，则两直和分别涉及到的子群在重新排序后同构意义下是等价的。

Remak-Krull-Schmidt 定理对无限群无效，所以在无限 G = H + K = L + M 的情况下，即使在所有子群都是非平凡的并且不可分解的，我们不能假定 H 同构于要么 L 要么 M。

如果我们希望在 G 是子群的无限(可能不可数)集合的直和的情况下描述上述性质，我们需要更加的小心。

如果 g 是群的集合的笛卡尔积 ∏{H_i} 的元素，设 g_i 是在乘积中的 g 的第 i 个元素。 群的集合 {H_i} 的外直和(写为 ∑_E{H_i}) 是 ∏{H_i} 的子集，这里对于每个 ∑_E{H_i} 的元素 g，g_i 是单位元 ${\displaystyle e_{H_{i}}}$  对于除了有限个之外的所有 g_i (等价的说只有有限个 g_i 不是单位元)。在外直和中的群运算是逐点乘法，如在平常直积中那样。

应当容易的明白这个子集确实形成了群；对于群 H_i 的无限集合，外直和同一于直积。

那么如果 G = ∑H_i，则 G 同构于 ∑_E{H_i}。因此在某种意义上，直和是“内部”外直和。我们有了对于每个 G 中的元素 g，有一个唯一有限集合 S 和唯一的 {h_i ∈ H_i : i ∈ S} 使得 g = ∏ {h_i : i ∈ S}。