二面体群

抽象言之，首先考虑 ${\displaystyle n}$  阶循环群 ${\displaystyle C_{n}}$ 。反射 ${\displaystyle \tau :x\mapsto x^{-1}}$  是 ${\displaystyle C_{n}}$  上的自同构，而且 ${\displaystyle \tau ^{2}={\rm {id}}}$ 。定义二面体群为半直积

${\displaystyle D_{2n}=C_{n}\rtimes \{e,\tau \}}$ 

任取 ${\displaystyle C_{n}}$  的生成元 ${\displaystyle \sigma }$ ，${\displaystyle D_{2n}}$  由 ${\displaystyle \sigma ,\tau }$  生成，其间的关系是

${\displaystyle \sigma ^{n}=e,\tau ^{2}=e,\tau \sigma \tau =\sigma ^{-1}\,}$ 

${\displaystyle D_{2n}}$  的元素均可唯一地表成 ${\displaystyle \sigma ^{k}\tau ^{h}}$ ，其中 ${\displaystyle 0\leq k<n}$ ，${\displaystyle h=0,1\,}$ 。

二面体群也可以诠释为二维正交群 ${\displaystyle O(2)}$  中由

${\displaystyle \sigma :={\begin{pmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\\sin {2\pi \over n}&\cos {2\pi \over n}\end{pmatrix}}}$  （旋转 ${\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}$  弧度）

${\displaystyle \tau :={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$  （对 x 轴反射）

生成的子群。由此不难看出 ${\displaystyle D_{2n}}$  是正 n 边形的对称群。

• ${\displaystyle D_{2n}}$  的中心在 ${\displaystyle n}$  为奇数时是 ${\displaystyle \{e\}}$ ，在 ${\displaystyle n}$  为偶数时是 ${\displaystyle \{e,\sigma ^{n/2}\}}$ 。
• 当 ${\displaystyle n}$  为奇数时，${\displaystyle D_{4n}}$  同构于 ${\displaystyle D_{2n}}$  与二阶循环群的直积。同构可由下式给出：

${\displaystyle \sigma ^{k+\epsilon n}\tau ^{h}\mapsto (\sigma ^{k}\tau ^{h},\epsilon )}$ 

其中 ${\displaystyle h,\epsilon =0,1}$ ，${\displaystyle 0\leq k<n}$ 。

• 当 ${\displaystyle n}$  为奇数时，${\displaystyle D_{2n}}$  的所有反射（即：二阶元素）彼此共轭；当 ${\displaystyle n}$  为偶数，则反射元在共轭作用下分解成两个轨道；从几何方面解释，二者差意在于反射面是否通过正 ${\displaystyle n}$  边形的顶点。
• 若 ${\displaystyle m|n}$ ，则 ${\displaystyle D_{2m}\leq D_{2n}}$ ，由此可导出 ${\displaystyle D_{2n}}$  共有 ${\displaystyle d(n)+\sigma (n)}$  个子群，其中的算术函数 ${\displaystyle d(n)}$  与 ${\displaystyle \sigma (n)}$  分别代表 ${\displaystyle n}$  的正因数个数与正因数之和。

当 ${\displaystyle n}$  为奇数时，${\displaystyle D_{n}}$  有两个一维不可约表示：

${\displaystyle \tau \mapsto (-1)^{k},\;\sigma \mapsto 1\quad (k=0,1)}$ 

当 ${\displaystyle n}$  为偶数时，${\displaystyle D_{n}}$  有四个一维不可约表示：

${\displaystyle \tau \mapsto (-1)^{k},\sigma \mapsto (-1)^{h}\quad (k,h=0,1)}$ 

其余不可约表示皆为二维，共有 ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$  个，形如下式：

${\displaystyle \sigma \mapsto {\begin{pmatrix}\omega ^{h}&0\\0&\omega ^{-h}\end{pmatrix}}\;\tau \mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ 

其中 ${\displaystyle \omega }$  是任一 n 次本原单位根，${\displaystyle h}$  过 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ 。由 ${\displaystyle h_{1},h_{2}}$  给出的表示相等价当且仅当 ${\displaystyle h_{1}+h_{2}\equiv 0\mod n}$ 。