特殊酉群

特殊酉群 SU(n) 是一个 n²-1 维实矩阵李群。在拓扑上是紧及单连通的。在代数上，它是一个单李群（意为它的李代数是单的，见下）。SU(n) 的中心同构于循环群 Z_n。当 n ≥ 3，它的外自同构群是 Z₂，而 SU(2) 的外自同构群是平凡群。

SU(n) 代数由 n² 个算子生成，满足交换关系（对 i, j, k, l = 1, 2, ..., n）：

${\displaystyle \left[{\hat {O}}_{ij},{\hat {O}}_{kl}\right]=\delta _{jk}{\hat {O}}_{il}-\delta _{il}{\hat {O}}_{kj}}$ 

另外，算子

${\displaystyle {\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}{\hat {O}}_{ii}}$ 

满足

${\displaystyle \left[{\hat {N}},{\hat {O}}_{ij}\right]=0}$ 

这意味着 SU(n) 独立的生成元个数是 n²-1^[1]。

一般地，SU(n) 的无穷小生成元（infinitesimal generator） T，由一个无迹埃尔米特矩阵表示。即

• ${\displaystyle \operatorname {tr} (T_{a})=0,\,}$ 

以及

• ${\displaystyle T_{a}=T_{a}^{\dagger }.\,}$ 

基本表示

在定义或基本表示中，由 ${\displaystyle n\times n}$  矩阵表示的生成元是：

• ${\displaystyle T_{a}T_{b}={\frac {1}{2n}}\delta _{ab}I_{n}+{\frac {1}{2}}\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{(if_{abc}+d_{abc})T_{c}}\,}$ 

这里系数 ${\displaystyle f}$  是结构常数，它对所有指标都是反对称的，而系数 ${\displaystyle d}$  对所有指标都是对称的。

从而

• ${\displaystyle \left[T_{a},T_{b}\right]_{+}={\frac {1}{n}}\delta _{ab}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}T_{c}}\,}$ 
• ${\displaystyle \left[T_{a},T_{b}\right]_{-}=i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{f_{abc}T_{c}}\,}$ 

我们也有

• ${\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}d_{bce}={\frac {n^{2}-4}{n}}\delta _{ab}\,}$ 

作为一个正规化约定。

伴随表示

在伴随表示中，生成元表示由 ${\displaystyle (n^{2}-1)\times (n^{2}-1)}$  矩阵表示，其元素由结构常数定义：

• ${\displaystyle (T_{a})_{jk}=-if_{ajk}\,}$ 

${\displaystyle \operatorname {SU} _{2}(\mathbb {C} )}$  一个一般矩阵元素形如

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}}$ 

这里 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$  使得 ${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$ 。我们考虑如下映射 ${\displaystyle \varphi :\mathbb {C} ^{2}\to \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ ，（这里 ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$  表示 2×2 复矩阵集合），定义为

${\displaystyle \varphi (\alpha ,\beta )={\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}.}$ 

考虑到 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$  微分同胚于 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$  和 ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$  同胚于 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ ，我们可看到 ${\displaystyle \varphi }$  是一个实线性单射，从而是一个嵌入。现在考虑 ${\displaystyle \varphi }$  限制在三维球面上，记作 ${\displaystyle S^{3}}$ ，我们可发现这是三维球面到 ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$  的一个紧子流形的一个嵌入。但显然有 ${\displaystyle \varphi (S^{3})=\operatorname {SU} _{2}(\mathbb {C} )}$ ，作为一个流形微分同胚于 ${\displaystyle \operatorname {SU} _{2}(\mathbb {C} )}$ ，使 ${\displaystyle \operatorname {SU} _{2}(\mathbb {C} )}$  成为一个紧连通李群。

现在考虑李代数 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{2}(\mathbb {C} )}$ ，一个一般元素形如

${\displaystyle U'={\begin{pmatrix}ix&-{\overline {\beta }}\\\beta &-ix\end{pmatrix}}}$ 

这里 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$  以及 ${\displaystyle \beta \in \mathbb {C} }$ 。易验证这样形式的矩阵的迹是零并为反埃尔米特的。从而李代数由如下矩阵生成

${\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}\qquad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\qquad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}}$ 

易见它具有上面提到的一般元素的形式。它们满足关系 ${\displaystyle u_{3}u_{2}=-u_{2}u_{3}=u_{1}}$  和 ${\displaystyle u_{2}u_{1}=-u_{1}u_{2}=u_{3}}$ 。从而交换子括号由

${\displaystyle [u_{1},u_{3}]=2u_{2},\qquad [u_{2},u_{1}]=2u_{3},\qquad [u_{3},u_{2}]=2u_{1}.}$ 

确定。上述生成元与泡利矩阵有关，${\displaystyle u_{1}=i\sigma _{1}}$ , ${\displaystyle u_{2}=-i\sigma _{2}}$  及 ${\displaystyle u_{3}=i\sigma _{3}}$ 。

SU(3) 的生成元 T，在定义表示中为

${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{\sqrt {2}}}.\,}$ 

这里 ${\displaystyle \lambda \,}$  为盖尔曼矩阵，是 SU(2) 泡利矩阵在 SU(3) 之类比：

${\displaystyle \lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}}$

注意它们都是无迹埃尔米特矩阵。

它们服从关系

• ${\displaystyle \left[T_{a},T_{b}\right]=i\sum _{c=1}^{8}{f_{abc}T_{c}}\,}$ 

这里 f 是结构常数，如上所定义，它们的值为

${\displaystyle f^{123}=1\,}$ 

${\displaystyle f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}={\frac {1}{2}}\,}$ 

${\displaystyle f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,}$ 

d 的取值：

${\displaystyle d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,}$ 

${\displaystyle d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,}$ 

${\displaystyle d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^{377}={\frac {1}{2}}\,}$ 

${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$  对应的李代数记作 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ 。它的标准数学表示由无迹反埃尔米特 ${\displaystyle n\times n}$  复矩阵组成，以通常交换子为李括号。粒子物理学家通常增加一个因子 ${\displaystyle i}$ ，从而所有矩阵成为埃尔米特的。这只不过是同一个实李代数一个不同的更方便的表示。注意 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$  是 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  上一个李代数。

例如，下列量子力学中使用的矩阵组成 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$  在 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  上的一组基：

${\displaystyle i\sigma _{x}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle i\sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle i\sigma _{z}={\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}}$ 

（这里 ${\displaystyle i}$  是虚数单位。）

这个表示经常用于量子力学（参见泡利矩阵以及盖尔曼矩阵）表示基本粒子比如电子的自旋。它们也作为我们三维空间量子相对论描述中的单位向量。

注意任意两个不同生成元的乘积是另一个生成元，以及生成元反交换。与单位矩阵（乘以 ${\displaystyle i}$ ）一起

${\displaystyle iI_{2}={\begin{bmatrix}i&0\\0&i\end{bmatrix}}}$ 

它们也是 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$  的生成元。

当然这里它取决于我们最终处理的问题，比如在非相对论量子力学中为 2-旋量；或在相对论狄拉克理论中，我们需要到 4-旋量的一个扩张；或在数学中甚至是克利福德代数。

注：在矩阵乘法下（在此情形是反交换的），生成克利福德代数 ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{3}}$ ，而在交换子括号下生成李代数 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ 。

回到一般的 ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ ：

如果我们选择（任意）一个特定的基，则纯虚数无迹对角 ${\displaystyle n\times n}$  矩阵子空间组成一个 ${\displaystyle n-1}$  维嘉当子代数。

将这个李代数复化，从而现在允许任何无迹 ${\displaystyle n\times n}$  矩阵。权本征向量是嘉当子代数自己，只有一个非零元素的矩阵不是对角的。尽管嘉当子代数 ${\displaystyle \mathrm {h} }$  只是 ${\displaystyle n-1}$  维，但为了化简计算，经常引入一个辅助元素，与所有元素交换的单位矩阵（它不能视为这个李代数的一个元素）。故我们有一个基，其中第 ${\displaystyle i}$  个基向量是在第 ${\displaystyle i}$  个对角元素为 ${\displaystyle 1}$  而在其它处为零的矩阵。则权由 ${\displaystyle n}$  个坐标给出，而且在所有 ${\displaystyle n}$  个坐标求和为零（因为单位矩阵只是辅助的）。

故 ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$  的秩是 ${\displaystyle n-1}$ ，它的邓肯图由 ${\displaystyle A_{n-1}}$  给出，有 ${\displaystyle n-1}$  个顶点的链。

它的根系由 ${\displaystyle n(n-1)}$  个根组成，生成一个 ${\displaystyle n-1}$  欧几里得空间。这里，我们使用 ${\displaystyle n}$  冗余坐标而不是 ${\displaystyle n-1}$  坐标来强调根系的对称（${\displaystyle n}$  坐标之和为零）。换句话说，我们是将这个 ${\displaystyle n-1}$  维向量空间嵌入 ${\displaystyle n}$ -维中。则根由所有 ${\displaystyle n(n-1)}$  置换 ${\displaystyle (1,-1,0,\dots ,0)}$ 。两段以前的构造解释了为什么。单根的一个选取为

${\displaystyle (1,-1,0,\dots ,0)}$ ,

${\displaystyle (0,1,-1,\dots ,0)}$ ,

…,

${\displaystyle (0,0,0,\dots ,1,-1)}$ .

它的嘉当矩阵是

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}}$ .

它的外尔群或考克斯特群是对称群 ${\displaystyle S_{n}}$ ，${\displaystyle (n-1)}$ -单形的对称群。

对一个域 F，F 上广义特殊酉群 SU(p,q;F)，F 上一个秩为 n=p+q 的向量空间上使得一个符号为 (p,q) 的非退化埃尔米特形式不变的所有行列式为 1 线性变换组成的群。这个酉群经常称为 F 上符号为 (p,q) 的特殊酉群。域 F 可以换为一个交换环，在这种情形向量空间换为自由模。

特别地，固定 GL(n,R) 中一个符号为 (p,q) 的埃尔米特矩阵，则所有

${\displaystyle M\in SU(p,q,R)}$ 

满足

${\displaystyle M^{*}AM=A\,}$ 

${\displaystyle \det M=1.\,}$ 

经常可以见到记号 ${\displaystyle SU_{p,q}}$  略去环或域，在这种形式环或域是指 C，这给出一个典型李群。当 F=C 时，A 的标准选取是

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&I_{n-2}&0\\-i&0&0\end{bmatrix}}.}$ 

对某些维数 A 可能有更好的选择，当限制为 C 的一个子环时有更好表现。

例子

这类群的一个重要例子是皮卡模群 SU(2,1;Z[i])，（射影地）作用在二度复双曲空间上，同样地 SL(2,Z) （射影地）作用在二维实双曲空间上。2003年，Gábor Francsics 与彼得·拉克斯算出了这个群在 ${\displaystyle HC^{2}}$  上作用的基本域，参见 [1]。

另一个例子是 SU(1,1;C)，同构于 SL(2,R)。

在物理学中，特殊酉群用于表示波色对称。在对称性破缺理论中寻找特殊酉群的子群很重要。在大一统理论中 SU(n) 重要的子群是，对 p>1，n-p>1：

${\displaystyle SU(n)\supset SU(p)\times SU(n-p)\times U(1).}$ 

为了完整性，还有正交与辛子群：

${\displaystyle SU(n)\supset O(n)}$ 

${\displaystyle SU(2n)\supset USp(2n).}$ 

因为 SU(n) 的秩是 n-1，U(1) 是 1，一个有用的检验是看子群的秩是小于还是等于原来群的秩。SU(n) 是多个其它李群的子群：

${\displaystyle SO(2n)\supset SU(n)}$ 

${\displaystyle USp(2n)\supset SU(n)}$ 

${\displaystyle Spin(4)=SU(2)\times SU(2)}$ （参见自旋群）

${\displaystyle E_{6}\supset SU(6)}$ 

${\displaystyle E_{7}\supset SU(8)}$ 

${\displaystyle G_{2}\supset SU(3)}$ （关于 E₆, E₇ 与 G₂ 参见单李群）。

有同构 SU(4)=Spin(6)，SU(2)=Spin(3)=USp(2) 以及 U(1)=Spin(2)=SO(2)。

最后值得指出的是 SU(2) 是 SO(3) 的二重覆叠群，这个关系在非相对论量子力学 2-旋量的旋转中起着重要的作用。

• SU(2)的表示论
• 射影特殊酉群 PSU(n)
• 埃尔米特矩阵
• 辛矩阵
• 酉群
• 酉算子
• 矩阵分解

• Halzen, Francis; Martin, Alan. Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons. 1984. ISBN 0-471-88741-2. 
• Maximal Subgroups of Compact Lie Groups （页面存档备份，存于互联网档案馆）

• Physics 558 - Lecture 1, Winter 2003 （页面存档备份，存于互联网档案馆）