嘉当矩阵

在数学中,嘉当矩阵是由法国数学家埃利·嘉当引入的一类特别矩阵,最大的应用在于李代数的分类理论。在有限维代数的表示理论中,嘉当矩阵另有其它意义。

李代数

所谓广义嘉当矩阵是具有下述性质的方阵  

  1. 各项皆为整数: 
  2. 对角线上的项等于二: 
  3. 非对角线项非正: 
  4.  
  5. 存在正对角方阵   使   可以写成  ,其中   是对称方阵。

第四个条件可由第一及第五个条件导出。在第五个条件中,若可取   为正定,则称  嘉当矩阵

若两个嘉当矩阵差一个排列矩阵的共轭: ,则称两者同构。若一嘉当矩阵同构于分块对角的嘉当矩阵,则称之为可化的,反之则称为不可化

由半单李代数可以得到根系,对应的广义嘉当矩阵定义为

 

其中   是选定的单根。单李代数对应于不可化嘉当矩阵。

不可化嘉当矩阵可透过连通丹金图分类。具体方式是取   个顶点(n 为嘉当矩阵   的阶数),将顶点    条边相连。定义每个顶点的权   使得  ,若两个相邻顶点   的权不同,则规定边从权大者指向小者。这套模式类似于从根系定义丹金图的手法。

有限维代数的表示理论

对于域   上的有限维结合代数  ,考虑不可约、 -有限维左  -模  ,对每个  ,存在唯一的不可分解左射影模   (至多差一个同构),使得  。取    合成列中作为合成因子的重数。方阵   称为   的嘉当矩阵。

参考资料