群的情形
设 为群, 的合成列是对应于一族子群
-
满足 ,使其子商 皆为非平凡的单群;易言之, 是 的极大正规子群。这些子商也称作合成因子。对于有限群,恒存在合成列。
模的情形
固定环 及 -模 。 的合成列是一族子模
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其中每个子商 皆为非平凡的单模 。易言之, 是 的极大子模。这些子商也称为合成因子。若 是阿廷环,根据 Hopkins-Levitzki 定理,任何有限生成的 -模皆有合成列。
例子
例子. 考虑 12 阶循环群 ,它具有三个相异的合成列
- ,
- ,
-
合成因子分别为
-
-
-
其间仅差个排列。
若尔当-赫尔德定理
- 定理. 若群 〔或 -模 〕有合成列,则任两个合成列都有相同长度。合成因子的同构类与合成列的选取无关,其间至多差一个排列。
略证:以下仅处理模的情形,群的情形可依此类推。假设存在两个合成列
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对 行数学归纳法。若 则 ,若 则 是单模。以下假定 。
若 ,据归纳法假设, 且 与 ( )之间仅差排列。此外 ,故定理成立。
设 。此时必有 。置 ,于是
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取 的合成列 ,依上式知
-
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皆为合成列,其合成因子仅差个换位。根据归纳法假设,若同删去尾项 ,则 (*) 与 (**) 的合成因子分别等同于合成列 的合成因子,至多差个排列。是故定理得证。
参见
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