有限生成

在抽象代数中，有限生成意谓一个代数结构中存在有限多个元素 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$，使得每个元素都能由这些元素的代数运算生成；或者形式地说，谓该结构能表成有限个生成元的自由对象的商（在适当的范畴内）。这类对象有时也称为有限型的。

以下是常见的特例：

• 有限生成群：若群 ${\displaystyle G}$ 中存在一个有限子集 ${\displaystyle S}$，使得 ${\displaystyle G}$ 中的任一元素都能以 ${\displaystyle S}$ 的元素及其逆元的连乘积表示，则称 ${\displaystyle G}$ 为有限生成群。
• 有限生成阿贝尔群
• 有限生成模：设 ${\displaystyle R}$ 为环，若左 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle M}$ 中存在有限多个元素 ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{n}}$，使得 ${\displaystyle M=Rm_{1}+\cdots +Rm_{n}}$，则称 ${\displaystyle M}$ 为有限生成模；对右 ${\displaystyle R}$-模的定义类此。有限维向量空间是其特例。
• 有限生成代数：设 ${\displaystyle R}$ 为交换环，若 ${\displaystyle R}$-代数 ${\displaystyle A}$ 中存在有限多个元素 ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$，使得每个 ${\displaystyle A}$ 的元素都能表成多项式 ${\displaystyle f(a_{1},\ldots ,a_{n})}$，其中 ${\displaystyle f\in R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$。