斜埃尔米特矩阵
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如方块矩阵A的共轭转置A*也是其负数,则A是斜许密矩阵或反许密矩阵(英语:skew-Hermitian matrix、anti-Hermitian matrix):
- A* = −A
或者,如A = (ai,j):
对于所有i和j。
例子
例如,以下矩阵便是斜许密矩阵:
性质
- 斜许密矩阵的特征值全是纯虚数。更进一步,斜许密矩阵都是正规矩阵。因此它们可对角化,它们不同的特征向量一定是正交。
- 斜许密矩阵主对角线所有元素都一定是纯虚数。
- 如果A是斜许密矩阵,那iA是许密矩阵。
- 如果A,B是斜许密矩阵,那么对于所有实数a,b,aA + bB也一定是斜许密矩阵。
- 如果A是斜许密矩阵,那么对于所有正整数k,A2k都是许密矩阵。
- 如果A是斜许密矩阵,那A的奇数次方也是斜许密矩阵。
- 如果A是斜许密矩阵,那eA是酉矩阵。
- 矩阵与其共轭转置之差( )是斜许密矩阵。
- 任意方块矩阵C都可以写成许密矩阵A与斜许密矩阵B之和:
- , , 。