行列式

矩阵${\displaystyle A}$ 的行列式记作${\displaystyle \det(A)}$ 。行列式经常使用竖直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，对于一个矩阵：

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle \det(A)}$ 也记作${\displaystyle |A|}$ ，或以细长的垂直线取代矩阵的方括号，明确的写为^[3][4]：

${\displaystyle \det(A)=|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}$ 

当这个记法用于绝对值时，其作用对象为数，矩阵的绝对值是无定义的。矩阵范数通常以双垂直线来表示（如：${\displaystyle \|\cdot \|}$ ），且可以使用下标。故不会与二者造成混淆。

一个n阶方块矩阵${\displaystyle A}$ 的行列式可直观地定义如下：

其中，${\displaystyle S_{n}}$ 是集合${\displaystyle \left\{1,2,...,n\right\}}$ 上置换的全体，即集合${\displaystyle \left\{1,2,...,n\right\}}$ 到自身上的一一映射（双射）的全体；

${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}}$ 表示对${\displaystyle S_{n}}$ 全部元素的求和，即对于每个${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$ ，${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}}$ 在加法算式中出现一次；对每一个满足${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ 的数对${\displaystyle \left(i,j\right)}$ ，${\displaystyle a_{i,j}}$ 是矩阵${\displaystyle A}$ 的第${\displaystyle i}$ 行第${\displaystyle j}$ 列的元素。

${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$ 表示置换${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$ 的符号差，具体地说，满足${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n}$ 但${\displaystyle \sigma (i)>\sigma (j)}$ 的有序数对${\displaystyle \left(i,j\right)}$ 称为${\displaystyle \sigma }$ 的一个逆序。

如果${\displaystyle \sigma }$ 的逆序共有偶数个，则${\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma =1}$ ，如果共有奇数个，则${\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma =-1}$ 。

举例来说，对于3元置换${\displaystyle \sigma =\left(2,3,1\right)}$ （即是说${\displaystyle \sigma (1)=2}$ ，${\displaystyle \sigma (2)=3}$ ，${\displaystyle \sigma (3)=1}$ ）而言，由于1在2后，1在3后，所以共有2个逆序（偶数个），因此${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )=1}$ ，从而3阶行列式中项${\displaystyle a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}}$ 的符号是正的。但对于三元置换${\displaystyle \sigma =\left(3,2,1\right)}$ （即是说${\displaystyle \sigma (1)=3}$ ，${\displaystyle \sigma (2)=2}$ ，${\displaystyle \sigma (3)=1}$ ）而言，可以数出共有3个逆序（奇数个），因此${\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma =-1}$ ，从而3阶行列式中项${\displaystyle a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}}$ 的符号是负号^[5][6]。

注意到对于任意正整数${\displaystyle n}$ ，${\displaystyle S_{n}}$ 共拥有n!个元素，因此上式中共有${\displaystyle n!}$ 个求和项，即这是一个有限多次的求和。

对于简单的2阶和3阶的矩阵，行列式的表达式相对简单，而且恰好是每条主对角线（左上至右下）元素乘积之和减去每条副对角线（右上至左下）元素乘积之和（见图中红线和蓝线）。

• 2阶矩阵的行列式：${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{vmatrix}}=a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}}$ ^[7]

• 3阶矩阵的行列式：${\displaystyle \displaystyle {\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{vmatrix}}=a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}+a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}-a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}-a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}-a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}}$ ^[8]

但对于阶数${\displaystyle n\geq 4}$ 的方阵${\displaystyle A}$ ，这样的主对角线和副对角线分别只有${\displaystyle n}$ 条，由于${\displaystyle A}$ 的主、副对角线总条数${\displaystyle =2n<\left(n-1\right)n<n!=S_{n}}$ 的元素个数 因此，行列式的相加项中除了这样的对角线乘积之外，还有其他更多的项。例如4阶行列式中，项${\displaystyle a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}a_{4,4}}$ 就不是任何对角线的元素乘积。不过，和2、3阶行列式情况相同的是，n阶行列式中的每一项仍然是从矩阵中选取n个元素相乘得到，且保证在每行和每列中都恰好只选取一个元素，而整个行列式恰好将所有这样的选取方法遍历一次。

另外，${\displaystyle n\times n}$ 矩阵的每一行或每一列也可以看成是一个${\displaystyle n}$ 元向量，这时矩阵的行列式也被称为这${\displaystyle n}$ 个${\displaystyle n}$ 元向量组成的向量组的行列式^[9]。

行列式的一个自然的源起是n维平行体的体积。行列式的定义和n维平行体的体积有着本质上的关联^[10]。

二维向量组的行列式

在一个二维平面上，两个向量${\displaystyle X=\left(a,c\right)}$ 和${\displaystyle X'=\left(b,d\right)}$ 的行列式是：

${\displaystyle \det(X,X')={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc}$ ^[7]

比如说，两个向量${\displaystyle X=\left(2,1\right)}$ 和${\displaystyle X'=\left(3,4\right)}$ 的行列式是：

${\displaystyle \det(X,X')={\begin{vmatrix}2&3\\1&4\end{vmatrix}}=2\cdot 4-3\cdot 1=5}$ 

经计算可知，当系数是实数时，行列式表示的是向量${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle X'}$ 形成的平行四边形的有向面积，并有如下性质：

• 行列式为零当且仅当两个向量共线（线性相关），这时平行四边形退化成一条直线^[9]。
• 如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形面积为正当且仅当以原点为不动点将${\displaystyle X}$ 逆时针“转到”${\displaystyle X'}$ 处时，扫过的地方在平行四边形里，否则的话面积就是负的。如右图中，${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle X'}$ 所构成的平行四边形的面积就是正的^[11]。
• 行列式是一个双线性映射。也就是说，${\displaystyle \det(\lambda X+\mu Y,X')=\lambda \det(X,X')+\mu \det(Y,X')\;}$ ，

并且

${\displaystyle \det(X,\lambda X'+\mu Y')=\lambda \det(X,X')+\mu \det(X,Y')\;}$ ^[9]。

其几何意义是：以同一个向量${\displaystyle v}$ 作为一条边的两个平行四边形的面积之和，等于它们各自另一边的向量${\displaystyle u}$ 和${\displaystyle u'}$ 加起来后的向量：${\displaystyle u+u'}$ 和${\displaystyle v}$ 所构成的平行四边形的面积，如左图中所示。

三维向量组的行列式

在三维的有向空间中，三个三维向量的行列式是：

${\displaystyle \det(X,X',X'')={\begin{vmatrix}x&x'&x''\\y&y'&y''\\z&z'&z''\end{vmatrix}}=xy'z''+x'y''z+x''yz'-xy''z'-x'yz''-x''y'z}$ 。^[8]

比如说，三个向量${\displaystyle \left(2,1,5\right)}$ 、${\displaystyle \left(6,0,8\right)}$ 和${\displaystyle \left(3,2,4\right)}$ 的行列式是：

${\displaystyle \det(X,X',X'')={\begin{vmatrix}2&6&3\\1&0&2\\5&8&4\end{vmatrix}}=2\cdot 0\cdot 4+6\cdot 2\cdot 5+3\cdot 1\cdot 8-2\cdot 2\cdot 8-6\cdot 1\cdot 4-3\cdot 0\cdot 5=28}$ 

当系数是实数时，行列式表示${\displaystyle X}$ 、${\displaystyle X'}$ 和${\displaystyle X''}$ 三个向量形成的平行六面体的有向体积，也叫做这三个向量的混合积。同样的，可以观察到如下性质^[12]：

• 行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面（三者线性相关），这时平行六面体退化为平面图形，体积为零^[10]。

• 三维空间中有向体积的定义要比二维空间中复杂，一般是根据右手定则来约定。比如右图中(${\displaystyle u,v,w}$ )所形成的平行六面体的体积是正的，而(${\displaystyle u,w,v}$ )所形成的平行六面体的体积是负的。这个定义和行列式的计算并不矛盾，因为行列式中向量的坐标都是在取好坐标系后才决定的，而坐标系的三个方向一般也是按照右手规则来设定的。如果计算开始时坐标系的定向反过来的话，有向体积的定义也要跟着反过来，这样行列式才能代表有向体积^[10][13]。
• 这时行列式是一个“三线性映射”，也就是说，对第一个向量有${\displaystyle \det(aX+bY,X',X'')=a\det(X,X',X'')+b\det(Y,X',X'')\;}$ ，对第二、第三个向量也是如此。其几何意义和二维时基本相同，是指当生成两个平行六面体的每组三个向量中如果有两个是重合的，比如分别是：(${\displaystyle u,v,w}$ )和(${\displaystyle u',v,w}$ )，那么它们的体积之总和等于将${\displaystyle u}$ 和${\displaystyle u'}$ 加起来后的向量${\displaystyle u+u'}$ 和${\displaystyle v}$ , ${\displaystyle w}$ 所形成的平行六面体的体积，如右图所示^[10]。

基底的选择

在以上的行列式中，我们不加选择地将向量在所谓的正交基（即直角坐标系）下分解，实际上在不同的基底之下，行列式的值并不相同。这并不是说平行六面体的体积不唯一。恰恰相反，这说明体积的概念依赖于衡量空间的尺度，也就是基底的取法。用基底的变换可以看作线性映射对基底的作用，而不同基底下的行列式代表了基变换对“体积”的影响。可以证明，对于所有同定向的标准正交基，向量组的行列式的值在绝对值意义上是一样的^[14]。也就是说，如果我们选择的基底都是“单位长度”，并且两两正交，那么在这样的基之下，平行六面体的体积的绝对值是唯一的^[15]。

线性变换

设E是一个一般的n维的有向欧几里得空间。一个线性变换把一个向量线性地变为另一个向量。比如说，在三维空间中，向量(${\displaystyle x,y,z}$ )被映射到向量(${\displaystyle x',y',z'}$ )：

${\displaystyle {\begin{matrix}x'=a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z\\y'=a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z\\z'=a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z\end{matrix}}}$ 

其中${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 、${\displaystyle c}$ 是系数。如右图，正方体（可以看作原来的一组基形成的）经线性变换后可以变成一个普通的平行六面体，或变成一个平行四边形（没有体积）。这两种情况表示了两种不同的线性变换，行列式可以将其很好地分辨出来（为零或不为零）。

更详细地说，行列式表示的是线性变换前后平行六面体的体积的变化系数。如果设左边的正方体体积是一，那么中间的平行六面体的（有向）体积就是线性变换的行列式的值，右边的平行四边形体积为零，因为线性变换的行列式为零。这里我们混淆了线性变换的行列式和向量组的行列式，但两者是一样的，因为我们在对一组基作变换^[16]。

以上二维和三维行列式的例子中，行列式被解释为向量形成的图形的面积或体积。面积或体积的定义是恒正的，而行列式是有正有负的，因此需要引入有向面积和有向体积的概念。负的面积或体积在物理学中可能难以理解，但在数学中，它们和有向角的概念类似，都是对空间镜面对称特性的一种刻画。如果行列式表示的是线性变换对体积的影响，那么行列式的正负就表示了空间的定向^[17]。

如上图中，左边的黄色骰子（可以看成有单位的有向体积的物体）在经过了线性变换后变成中间绿色的平行六面体，这时行列式为正，两者是同定向的，可以通过旋转和拉伸从一个变成另一个。而骰子和右边的红色平行六面体之间也是通过线性变换得到的，但是无论怎样旋转和拉伸，都无法使一个变成另一个，一定要通过镜面反射才行。这时两者之间的线性变换的行列式是负的。可以看出，线性变换可以分为两类，一类对应着正的行列式，保持空间的定向不变，另一类对应负的行列式，颠倒空间的定向^[17][18][19]。

由二维及三维的例子，可以看到一般的行列式应该具有怎样的性质。在${\displaystyle n}$ 维欧几里得空间中，作为“平行多面体”的“体积”的概念的推广，行列式继承了“体积”函数的性质。首先，行列式需要是线性的，这可以由面积的性质类比得到。这里的线性是对于每一个向量来说的，因为当一个向量变为原来的${\displaystyle a}$ 倍时，“平行多面体”的“体积”也变为原来的${\displaystyle a}$ 倍。其次，当一个向量在其它向量组成的“超平面”上时，${\displaystyle n}$ 维“平行多面体”的“体积”是零（可以想像三维空间的例子）。也就是说，当向量线性相关时，行列式为零。在一般系数域上的线性空间中，行列式也正是由这样的特性所刻划的：

交替多线性形式（多重线性函数）

行列式是系数域为${\displaystyle K}$ 的有限维线性空间${\displaystyle E}$ 上射到${\displaystyle K}$ 的交替n-线性形式^[20]。

具体来说，设${\displaystyle E}$ 是一个系数在域${\displaystyle K}$ 上的有限维线性空间，维数为${\displaystyle n}$ 。一个${\displaystyle E}$ 上的交替${\displaystyle n-}$ 线性形式是指满足以下性质的函数${\displaystyle D:E^{n}\to K}$ ：

1. ${\displaystyle n}$ 重线性：${\displaystyle D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n})}$ 
2. 交替性：${\displaystyle D(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=-D(a_{2},a_{1},\ldots ,a_{n})}$ 或者说，当${\displaystyle a_{i}=a_{j}}$ 的时候${\displaystyle D(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{j},\ldots ,a_{n})=0}$ 

所有E上的交替${\displaystyle n-}$ 线性形式的集合记作${\displaystyle A_{n}(E)}$ 。

向量组的行列式

设${\displaystyle B=(e_{1},\dots ,e_{n})}$ 是${\displaystyle E}$ 的一组基，根据上面的定理和线性形式的性质，可以定义${\displaystyle B}$ 下的行列式。

其中的唯一性是因为如果有两个交替${\displaystyle n-}$ 线性形式满足条件，则它们的差在一组基上为0，从而恒等于0。于是，一组基上的一个向量组的行列式就是：

可以见到这个定义与之前直观的定义是吻合的，它有时也被称作莱布尼兹公式。

基变更公式

设${\displaystyle B}$ 与${\displaystyle B'}$ 是向量空间中的两组基，则将上面定理中的${\displaystyle f}$ 改为${\displaystyle \det {}_{B}}$ 就得到向量组在两组基下的行列式之间的关系：

${\displaystyle \det {}_{B'}(a_{1},\dots ,a_{n})=\det {}_{B'}(B)\times \det {}_{B}(a_{1},\dots ,a_{n})}$ ，

矩阵的行列式

设${\displaystyle \displaystyle {\mathit {M}}_{n}(K)}$ 为所有定义在系数域${\displaystyle K}$ 上的${\displaystyle n\times n}$ 矩阵的集合。将${\displaystyle n\times n}$ 矩阵${\displaystyle M}$ （${\displaystyle M}$ 的元素记为${\displaystyle \displaystyle m_{i,j}}$  )的${\displaystyle n}$ 列写成${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{n}}$ ，${\displaystyle \displaystyle m_{j}}$ 可以看作是${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的正则基上的向量。矩阵${\displaystyle M}$ 的行列式定义为向量组${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{n}}$ 的行列式。这里的向量都在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的正则基上展开，因此矩阵的行列式不依赖于基的选择。

这样定义的矩阵${\displaystyle M}$ 的行列式与向量组的行列式有同样的性质。单位矩阵的行列式为1，若矩阵的某几行线性相关，则它的行列式为零。

由莱布尼兹公式，可以证明矩阵行列式的一个重要性质：

也就是说矩阵的行列式既可以看作${\displaystyle n}$ 个行向量的行列式，也可以看作${\displaystyle n}$ 个列向量的行列式。因此也可以通过行向量组来定义矩阵行列式，并且得到的定义是等价的。

线性变换的行列式

设${\displaystyle f}$ 是${\displaystyle n}$ 维线性空间${\displaystyle E}$ 到自身的线性变换（自同态），对于给定的一组基，可以定义线性变换在这组基下的行列式。

f的变换矩阵满足${\displaystyle \left[f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})\right]=\left[f\right]_{B}\cdot \left[x_{1},\dots ,x_{n}\right]}$  也就是说对所有的向量组${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ，

${\displaystyle \det {}_{B}(f(x_{1}),\dots ,f(x_{n}))=\det \left([f]_{B}\right)\times \det {}_{B}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ 

${\displaystyle =\det f\times \det {}_{B}(x_{1},\cdots ,x_{n})}$ 。

可以证明，f在E的任意一组基下的变换矩阵的行列式都是相等的^[25]。

因此线性变换的行列式定义可以修改为不依赖于基的形式：

前一节里对正方体做线性变换时，${\displaystyle (x_{1},\cdots ,x_{n})}$ 是原来的基，${\displaystyle \det {}_{B}(x_{1},\dots ,x_{n})=1}$ ，因此可以混淆向量组的行列式和线性变换的行列式^[25]。

特别地，行列式为1的线性变换保持向量组的行列式，它们构成一般线性群${\displaystyle GL(E)}$ 的一个子群${\displaystyle SL(E)}$ ，称作特殊线性群^[26]。可以证明，${\displaystyle SL(E)}$ 是由所有的错切生成的，即所有具有如下形式的矩阵代表的线性变换：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&\\&1&&&\\&&\lambda &&\\&&&1&\\&&&&1\end{bmatrix}}=I_{n}+\lambda E_{ij}}$ 

其中${\displaystyle E_{ij}}$ 是只在第${\displaystyle i}$ 行第${\displaystyle j}$ 列处系数取1，其余系数为0的矩阵。也就是说，错切变换保持向量组形成的“平行多面体”的体积^[27]。同样，可以证明两个相似矩阵有相等的行列式^[28]。

以上的定义中都假设矩阵的系数取自域${\displaystyle \mathbb {K} }$ 中，实际上矩阵的系数可以是任意的交换环${\displaystyle k}$ ，这时有限维线性空间变为以${\displaystyle B=(e_{1},\dots ,e_{n})}$ 为基的自由${\displaystyle k-}$ 模，而相应的关于行列式的定义和性质依然成立（在可定义的范畴内）。如果矩阵系数是非交换环的话，以上的行列式定义将不再唯一。1845年，阿瑟·凯莱首次开始研究非交换环上行列式定义的问题。他注意到，对于系数是四元数（不可交换）的二阶行列式

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{vmatrix}}}$ 

表达式${\displaystyle a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$ 和${\displaystyle a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}$ 是不一样的。1926年，阿兰德·海廷和A.理查德森提出了非交换环上的行列式的不同定义。理查德森将二阶行列式定义为：${\displaystyle (a_{11}-a_{12}a_{22}^{-1}a_{21})a_{22}}$ ，而海廷则提倡使用${\displaystyle (a_{11}-a_{12}a_{22}^{-1}a_{21})}$ 。两人都用归纳法定义了更高阶矩阵的行列式。1931年，奥斯丁·欧尔在一大类非交换环（后来命名为欧尔环）上定义了行列式的概念。最著名的非交换环上的行列式的定义当属让·迪厄多内的定义。迪厄多内是布尔巴基学派的代表成员之一，他将除环${\displaystyle \mathbb {K} }$ 中的行列式定义在商域${\displaystyle \mathbb {K} /[\mathbb {K} ,\mathbb {K} ]}$ 上，而不是在${\displaystyle \mathbb {K} }$ 中。这个定义下的行列式有接近交换环中行列式的性质。例如，迪尔多内的行列式可以保持行列式的乘法定理。而这种行列式与交换环中行列式的区别是：将矩阵的两行或两列互换后，行列式的值不变。^[29]之后菲列克斯·别列金（英语：Felix Berezin）（Березин, Феликс Александрович）、佐藤干夫等人对迪厄多内的定义进行了探究和扩展^[30]。

行列式的一些基本性质，可以由它的多线性以及交替性推出。

• 在行列式中，一行（列）元素全为0，则此行列式的值为0^[31]。

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\color {blue}0}&{\color {blue}0}&\dots &{\color {blue}0}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\color {blue}0}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\{\color {blue}0}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\color {blue}0}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}=0}$ 

• 在行列式中，某一行（列）有公因子${\displaystyle k}$ ，则可以提出${\displaystyle k}$ ^[31]。

${\displaystyle D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\color {blue}k}a_{i1}&{\color {blue}k}a_{i2}&\dots &{\color {blue}k}a_{in}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\color {blue}k}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\color {blue}k}D_{1}}$ 

• 在行列式中，某一行（列）的每个元素是两数之和，则此行列式可拆分为两个相加的行列式^[31]。

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\color {blue}a_{i1}}+{\color {OliveGreen}b_{i1}}&{\color {blue}a_{i2}}+{\color {OliveGreen}b_{i2}}&\dots &{\color {blue}a_{in}}+{\color {OliveGreen}b_{in}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\color {blue}a_{i1}}&{\color {blue}a_{i2}}&\dots &{\color {blue}a_{in}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\color {OliveGreen}b_{i1}}&{\color {OliveGreen}b_{i2}}&\dots &{\color {OliveGreen}b_{in}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}}$ 

• 行列式中的两行（列）互换，改变行列式正负符号^[31]。

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\{\color {blue}a_{i1}}&{\color {blue}a_{i2}}&\dots &{\color {blue}a_{in}}\\{\color {OliveGreen}a_{j1}}&{\color {OliveGreen}a_{j2}}&\dots &{\color {OliveGreen}a_{jn}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\{\color {OliveGreen}a_{j1}}&{\color {OliveGreen}a_{j2}}&\dots &{\color {OliveGreen}a_{jn}}\\{\color {blue}a_{i1}}&{\color {blue}a_{i2}}&\dots &{\color {blue}a_{in}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}}$ 

• 在行列式中，有两行（列）对应成比例或相同，则此行列式的值为0^[31]。

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\color {blue}2}&{\color {blue}2}&\dots &{\color {blue}2}\\{\color {blue}8}&{\color {blue}8}&\dots &{\color {blue}8}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}=0}$ 

• 将一行（列）的${\displaystyle k}$ 倍加进另一行（列）里，行列式的值不变^[31]。

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\\a_{j1}&a_{j2}&\dots &a_{jn}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\\a_{j1}{\color {blue}+ka_{i1}}&a_{j2}{\color {blue}+ka_{i2}}&\dots &a_{jn}{\color {blue}+ka_{in}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}}$ 

注意：一行（列）的${\displaystyle k}$ 倍加上另一行（列），行列式的值改变。

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\\a_{j1}&a_{j2}&\dots &a_{jn}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}{\color {red}\neq }{\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\\{\color {red}k}a_{j1}{\color {red}+a_{i1}}&{\color {red}k}a_{j2}{\color {red}+a_{i2}}&\dots &{\color {red}k}a_{jn}{\color {red}+a_{in}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}}$ 

• 将行列式的行列互换，行列式的值不变，其中行列互换相当于转置^[31][32]。这个性质可以简单地记作

${\displaystyle D={\begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{ji}\end{vmatrix}}=D^{\textrm {T}}}$ 

例如

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{21}&\dots &a_{n1}\\a_{12}&a_{22}&\dots &a_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}&a_{2n}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}}$ 

• 行列式的乘法定理：方块矩阵的乘积的行列式等于行列式的乘积。${\displaystyle \displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}$ 。特别的，若将矩阵中的每一行每一列上的数都乘以一个常数${\displaystyle r}$ ，那么所得到的行列式不是原来的${\displaystyle r}$ 倍，而是${\displaystyle r^{n}}$ 倍：^[33]

${\displaystyle \det(rA)=\det(rI_{n}\cdot A)=\det(rI_{n})\cdot \det(A)=r^{n}\det(A)}$ 。

• 以上的乘法公式还可以进一步推广为所谓柯西–比内公式，从而使得只要两个矩阵的乘积是方块矩阵，就有类似于以上的结果：假设${\displaystyle A}$ 是一个${\displaystyle m\times n}$ 矩阵，而${\displaystyle B}$ 是一个${\displaystyle n\times m}$ 矩阵。如果${\displaystyle S}$ 是${\displaystyle \left\{1,\cdots ,n\right\}}$ 中具有${\displaystyle m}$ 个元素的子集${\displaystyle \left\{S_{1},\cdots ,S_{m}\right\}}$ ，我们记${\displaystyle A_{S}}$ 为${\displaystyle A}$ 中列指标位于${\displaystyle S}$ 中的${\displaystyle m\times m}$ 子矩阵。类似地，记${\displaystyle B_{S}}$ 为${\displaystyle B}$ 中行指标位于${\displaystyle S}$ 中的${\displaystyle m\times m}$ 子矩阵。那么

${\displaystyle \det(AB)=\sum _{S}\det(A_{S})\det(B_{S})\,}$ 

这里求遍${\displaystyle \left\{1,\cdots ,n\right\}}$ 中${\displaystyle m}$ 个元素的所有可能子集${\displaystyle S}$ （共有C(n,m)个）。

如果${\displaystyle m=n}$ ，即${\displaystyle A}$ 与${\displaystyle B}$ 是同样大小的方块矩阵，则只有一个容许集合${\displaystyle S}$ ，柯西–比内公式退化为通常行列式的乘法公式。如过${\displaystyle m=1}$ 则有${\displaystyle n}$ 容许集合${\displaystyle S}$ ，这个公式退化为点积。如果${\displaystyle m>n}$ ，没有容许集合${\displaystyle S}$ ，约定行列式${\displaystyle \det(AB)}$ 是零^[34]。