结合代数

一于体K上的结合代数A的定义为一于K上的向量空间，其K-双线性映射A × A → A 具有结合律：

• 对任何于A内的x、y和z，(x y) z = x (y z)。

此乘法的双线性性质可表示成

• 对任何于A内的x、y和z，满足结合律: (x + y) z = x z + y z；
• 对任何于A内的x、y及于K的a，满足分配律: x (y + z) = x y + x z；
• 对任何于A内的x、y及于K内的a，满足结合律 a (x y) = (a x) y = x (a y)。

当A含有单位元，即元素1使得对任一于A内的x，1x = x1 = x，则称A为具一的结合代数或单作结合代数。 此一代数为一个环，且包含所以体K内的元素a，由a1相连接。

上述的定义没有任何改变地广义化成了于可交换环K上的代数(除了K-线性空间被称做模而非向量空间之外)。详述请见代数 (环论)。

于一体K上的结合代数A的维度为其K-向量空间的维度。

• 其元素为体K的n×n方阵形成了一于K上的单作结合代数。
• 复数形成了于实数上的二维单作结合代数。
• 四元数形成了于实数上的四维单作结合代数(但不为一复数上的代数，因为复数和四元数不可交换)。
• 实系数多项式形成了一于实数上的单作结合代数。
• 给定一巴拿赫空间X，其连续线性算子 A : n → X形成了一单作结合代数(以算子复合做为乘法)；事实上，这是一个巴拿赫代数。
• 给定一拓扑空间X，于X上的连续实(复)值函数形成了一单作结合代数；这里，加法和乘法是对函数的各点相加和相乘。
• 一非单作的结合代数为所有x趋向无限时的极限为零的函数f: R → R所组成的集合。
• 克里福代数也是结合代数的一种，在几何和物理上都很有用。
• 局部有限偏序集合的相交代数为一组合数学内的单作结合代数。

若A和B为体K上的结合代数，代数同态 h: A → B则是一K-线性映射，其对任何于A内的x、y，会有h(xy) = h(x) h(y)的关系。加上态射的概念，于K上的结合代数组成的类便成了一范畴。

举个例子，设A为所有实值连续函数R → R所组成的代数，及B=R，这两者都是于R上的代数，且其每一连续函数f指定至数字f(0)的映射会是个由A至B的代数同态。

前面所述之结合代数的定义，其结合律的定义是对A的所有元素而定的。但有时不涉及A内元素的结合律定义会较方便。 这可以由下列方法作到。一定义成在一向量空间A内映射M的代数：

${\displaystyle M:A\times A\rightarrow A}$ 

其为结合代数当M有下面性质：

${\displaystyle M\circ ({\mbox{Id}}\times M)=M\circ (M\times {\mbox{Id}})}$ 

其中，符号${\displaystyle \circ }$ 表示函数的复合，而Id则为恒等函数：对所有于A内的x，${\displaystyle Id(x)=x}$ 。要了解其定义是等价的，只需要知道上述式子的两边都是三个引数的函数。例如，式子左边为

${\displaystyle (M\circ ({\mbox{Id}}\times M))(x,y,z)=M(x,M(y,z))}$ 

类似地，一单作结合代数可以以单位映射${\displaystyle \eta :K\rightarrow A}$ 来定义，其性质如下：

${\displaystyle M\circ ({\mbox{Id}}\times \eta )=s=M\circ (\eta \times {\mbox{Id}})}$ 

其中，单位映射η将K内的元素k映射至A内的元素k1，这里1是A的单位元。映射s只是个标量乘积：${\displaystyle s:K\times A\rightarrow A}$ 。

• Ross Street, Quantum Groups: an entrée to modern algebra (1998). (Provides a good overview of index-free notation)