欧几里得空间

有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形（也就是子集）应被认为是等价的（全等）。（参见欧几里得群）。

为了使这些在数学上精确，必须明确定义距离、角、平移和旋转的概念。标准方式是定义欧几里得平面为装备了内积的二维实数的向量空间。有着:

• 在这个向量空间中的向量对应于在欧几里得平面中的点，
• 在向量空间中的加法运算对应于平移，
• 内积蕴涵了角和距离的概念，它可被用来定义旋转。

一旦欧几里得平面用这种语言描述了，扩展它的概念到任意维度就是简单的事情了。对于大多数部分，词汇、公式、和计算对更高维的出现不造成任何困难。（但是，旋转在高维中是非常微妙，而高维空间的可视化仍很困难，即使对有经验的数学家也一样）。

欧几里得空间的最后问题是它在技术上不是向量空间，而是向量空间作用于其上仿射空间。直觉上，区别在于对于原点应当位于这个空间的什么地方没有标准选择，因为它可以到处移动。这种技术本文中很大程度上被忽略了。

以${\displaystyle \mathbb {R} }$ 表示实数域。对任意一个正整数n，实数的n元组的全体构成了${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的一个n维向量空间，用${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 来表示。有时称之为实数坐标空间。

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中的元素写作${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}$ ，这里的${\displaystyle x_{i}}$ 都是实数。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 作为向量空间，其运算是这样定义的：

${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})}$ 

${\displaystyle a\,\mathbf {x} =(ax_{1},ax_{2},\ldots ,ax_{n})}$ 

通常引入实数坐标空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的标准正交基：

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(1,0,\ldots ,0)}$ 

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}=(0,1,\ldots ,0)}$ 

${\displaystyle \vdots }$ 

${\displaystyle \mathbf {e} _{n}=(0,0,\ldots ,1)}$ 

于是${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中任意的向量可以表示成下面的形式：

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}}$ 

n维实数坐标空间是实n维向量空间的原型。事实上，每一个n维向量空间${\displaystyle V\ }$ 都可以看作实数坐标空间——${\displaystyle V\ }$ 与${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 是同构的（isomorphic）。不过这个同构不是正则（Canonical）的，每个同构的选择都相当于在${\displaystyle V\ }$ 中选择了一组基（即${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的n个标准基在${\displaystyle V\ }$ 中的同构像）。我们有时候只着眼于任意n维向量空间而不是具体的${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ，这是因为不希望为坐标的概念所束缚（即，有时候不必选择${\displaystyle V\ }$ 中特定的一组基）。

至于欧几里得空间，则是在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上再添加一些内容：欧几里得结构。
为了做欧氏几何，人们希望能讨论两点间的距离，直线或向量间的夹角。一个自然的方法是在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上，对任意两个向量${\displaystyle \mathbf {x} }$ 、${\displaystyle \mathbf {y} }$ ，引入它们的“标准内积”${\displaystyle <\mathbf {x} ,\mathbf {y} >}$ （一些文献上称为点积，记为${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }$ ）：

${\displaystyle <\mathbf {x} ,\mathbf {y} >=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}}$ 。

也就是说，${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中的任意两个向量对应着一个实数值。 我们把${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 及这样定义的内积，称为${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上的欧几里得结构；此时的${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 也被称为n维欧几里得空间，内积"<,>"称为欧氏内积。

利用这个内积，可以建立距离、长度、角度等概念：

• 向量${\displaystyle \mathbf {x} }$ 的长度：

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {<\mathbf {x} ,\mathbf {x} >}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i})^{2}}}}$ 

这里的长度函数满足范数所需的性质，故又称为${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上的欧氏范数。

• ${\displaystyle \mathbf {x} }$ 和${\displaystyle \mathbf {y} }$ 所夹的内角以下列式子给出

${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\frac {<\mathbf {x} ,\mathbf {y} >}{\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|}}\right)}$ 

这里的${\displaystyle \cos ^{-1}}$ 为反余弦函数。

• 最后，可以利用欧氏范数来定义${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上的距离函数，或称度量：

${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}}$ 。

这个距离函数称为欧几里得度量，它可以看作勾股定理一种形式。

这里的${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 仅指实数向量空间，而加入了如上定义的欧几里得结构后才称为欧氏空间；有些作者会用符号${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ 来标记之。欧氏结构使${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ 具有这些空间结构：内积空间、希尔伯特空间、赋范向量空间以及度量空间。

因为欧氏空间是一个度量空间，因此也是一个具有由度量推导出的自然拓扑的拓扑空间。${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ 上的度量拓扑被称为是欧氏拓扑。欧氏拓扑中的集是开的当且仅当它包含了该集的每一点周边的开球。可以证明，欧氏拓扑等价于${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上的积拓扑。

关于${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上拓扑的一个并不浅显易懂的重要结论是，鲁伊兹·布劳威尔的区域不变性。任意${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的子集（以及其子拓扑）与另外一个${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的子集同胚的话，那么这个子集自己是开的。这个结果的一个直接的结论就是${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ 与${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 不同胚，当${\displaystyle m\neq n}$ 。

在现代数学中，欧几里得空间形成了其他更加复杂的几何对象的原型。特别是流形，它是逻辑上同胚于欧几里得空间的豪斯多夫拓扑空间。

${\displaystyle n}$ 维欧氏空间是n维流形的典型例子，事实上也就是光滑流形。对于${\displaystyle n\neq 4}$ ，任意与${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 同胚的可微n维流形，也是微分同胚的。值得惊奇的结果是，1982年西蒙·唐纳森证明了对于${\displaystyle n=4}$ 的情况不成立；其反例被称为是怪R⁴。

欧氏空间也被理解为线性流形。一个${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中的m维线性子流形是一个（作为仿射空间）嵌入其中的m维欧氏空间。例如，任意高维（${\displaystyle n>1}$ ）欧氏空间中的任意直线是该空间中的一个1维线性子流形。

一般的说，流形的概念包含了欧几里得几何和非欧几里得几何二者。在这个观点上，欧几里得空间的根本性质为它是平坦的，也就是非弯曲的。现代物理学特别是相对论，展示我们的宇宙不是真正的欧几里得时空。尽管这在理论上甚至在某些实际问题如全球定位系统和航空中是重要的，欧几里得模型仍足够精确的用于大多数其他实际问题。

• 欧几里得几何
• 欧几里得距离
• 闵可夫斯基时空
• 黎曼几何

• Kelley, John L. General Topology. Springer-Verlag. 1975.  
• Munkres, James. Topology. Prentice-Hall. 1999. ISBN 978-0-13-181629-9.