范数

假设V是域F上的向量空间；V的半范数是一个函数${\displaystyle p:V\to \mathbb {R} ;x\mapsto {}p(x)}$ ，满足：

${\displaystyle \forall a\in F,\forall u,v\in V}$ ,

1. ${\displaystyle p(v)\geq 0}$ （具有半正定性）
2. ${\displaystyle p(av)=|a|p(v)}$ （具有绝对一次齐次性）
3. ${\displaystyle p(u+v)\leq p(u)+p(v)}$  （满足三角不等式，或称次可加性）

范数是一个半范数加上额外性质：

4. ${\displaystyle p(v)=0}$ ,当且仅当${\displaystyle v}$ 是零向量（正定性）

如果拓扑向量空间的拓扑可以被范数导出，这个拓扑向量空间被称为赋范向量空间。

• 所有范数都是半范数。
• 平凡半范数，即${\displaystyle p(x)=0,\forall x\in V}$ 。
• 绝对值是实数集上的一个范数。
• 对向量空间上的线性型f可定义一个半范数：${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\to |f({\boldsymbol {x}})|}$ 。

绝对值范数

绝对值范数为

${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|=\sum _{i}^{n}|x_{i}|}$ 

是在由实数或虚数构成的一维向量空间中的范数。

绝对值范数是曼哈顿范数的特殊形式。

欧几里德范数

在n维欧几里德空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上，向量${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},x_{2},\,\ldots \,,x_{n})^{\mathrm {T} }}$ 的最符合直觉的长度由以下公式给出

${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$ 

根据勾股定理，它给出了从原点到点${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ 之间的（通常意义下的）距离。欧几里德范数是${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上最常用的范数，但正如下面举出的，${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上也可以定义其他的范数。然而，以下定义的范数都定义了同一个拓扑结构，因此它们在某种意义上都是等价的。

在一个n维复数空间${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ 中，最常见的范数是：

${\displaystyle \|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}$ 

以上两者又可以以向量与其自身的内积的平方根表示：

${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{*}{\boldsymbol {x}}}},}$ 

其中x是一个列向量(${\displaystyle [x_{1},x_{2},\,\ldots \,,x_{n}]^{\mathrm {T} }}$ )，而${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{*}}$ 表示其共轭转置。

以上公式适用于任何内积空间，包括欧式空间和复空间。在欧几里得空间里，内积等价于点积，因此公式可以写成以下形式：

${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$ 

特别地，${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ 中所有的欧几里得范数为同一个给定正实数的向量的集合是一个n维球面。

复数的欧几里得范数

如果将复平面看作欧几里得平面${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ，那么复数的欧几里得范数是其绝对值（又称为模）。这样，我们可把${\displaystyle x+i\,y}$ 视为欧几里得平面上的一个向量，由此，这个向量的欧几里得范数即为${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ （最初由欧拉提出）。

• 内积
• 赋范向量空间
• 矩阵范数
• 曼哈顿距离
• Lp范数