拓扑向量空间

一个拓扑向量空间 X 是布于一个拓扑域 K （通常取实数或复数域）上的向量空间，其上带有拓扑结构使得向量加法 X × X → X 与标量乘法 K × X → X 为连续映射。

注：某些作者也要求 X 是豪斯多夫空间，更有要求其为局部凸空间者（例如 Fréchet 空间）。一个拓扑向量空间是豪斯多夫空间的充分条件是该空间为 ${\displaystyle T_{1}}$  空间。

布于 K 上的拓扑向量空间范畴通常记为 TVS_K 或 TVect_K，其对象为布于 K 上的拓扑向量空间，态射则为连续的 K-线性映射。拓扑向量空间的同构是既是同胚也是线性的映射。

所有赋范向量空间都是拓扑向量空间的例子。因此所有巴拿赫空间及希尔伯特空间也是这些例子。

函数空间

在数学分析中应用的拓扑向量空间主要是函数空间。较常见的例子有：

• ${\displaystyle C(X)}$ ：拓扑空间 ${\displaystyle X}$  上的连续函数空间，其拓扑由一族半范数 ${\displaystyle \|f\|:=\sup _{x\in K}|f(x)|}$  定义，其中 ${\displaystyle K}$  遍取 ${\displaystyle X}$  中的紧子集。
• ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ：拓扑空间 ${\displaystyle X}$  上的紧支撑集连续函数空间，拓扑由范数 ${\displaystyle \|f\|:=\sup |f(x)|}$  定义。
• Lp空间：测度空间 ${\displaystyle (X,\mu )}$  上满足 ${\displaystyle \int |f|^{p}\mathrm {d} \mu <+\infty }$  的函数空间，拓扑由范数 ${\displaystyle \|f\|_{p}:=(\int |f|^{p}\mathrm {d} \mu <+\infty )^{1/p}}$  定义，其中 ${\displaystyle p\in [1,+\infty ]}$ 
• 索伯列夫空间：偏微分方程理论中常用的空间，详见主条目索伯列夫空间。
• 分布：一种广义函数理论，用以定义并研究偏微分方程的广义解。全体分布构成一个拓扑向量空间。
• 施瓦兹空间：又称快速递减函数空间，定义为 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right):=\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\mid ||f||_{\alpha ,\beta }<\infty \,\forall \,\alpha ,\beta \}}$ ，其中 ${\displaystyle \alpha ,\beta }$  为多重指标，其中的半范数由 ${\displaystyle ||f||_{\alpha ,\beta }=||x^{\alpha }D^{\beta }f||_{\infty }}$  给出。此空间的重要性主要在于傅立叶变换理论。

积向量空间

当赋予乘积空间后，拓扑向量空间的家族的笛卡儿乘积都是拓扑向量空间．例如，X是f : R → R函数的集合. X可以被乘积空间R^R来确定的，并带有自然的乘积空间．有了这个拓扑，X成了拓扑向量空间，称呼为逐点收敛的空间．命名的原因是如果(f_n) 是X集合内元素的序列而对于所有实数x f_n(x)都有一个极限 f(x) ，那么f_n在X集合内有一个极限f．这个空间就是完整但不能赋范．

向量空间对加法构成阿贝尔群，拓扑向量空间的加法逆运算 ${\displaystyle v\mapsto -v}$  是连续的（因为 ${\displaystyle -v=(-1)\cdot v}$ ），因此拓扑向量空间可视为可交换的拓扑群。

特别是：拓扑向量空间是一致空间，因此可以谈论完备性、一致收敛与一致连续。向量运算（加法与标量积）是一致连续的，因此拓扑向量空间的完备化仍为拓扑向量空间，原空间在其中是个稠密的线性子空间。

向量运算不只连续，实则还是同胚，因此我们可以从原点附近的一组局部基重构整个空间的拓扑。局部基可由以下两种开集组成：

• 吸收集：${\displaystyle \forall v\in E\quad \exists \alpha \in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \forall \lambda \in K\quad |\lambda |\leq \alpha \Rightarrow \lambda v\in U}$ ；事实上，原点的任何邻域都是吸收集。
• 平衡集：${\displaystyle \forall \lambda \in K\quad \forall v\in E\quad |\lambda |\leq 1\Rightarrow \lambda v\in U}$ 

一个拓扑向量空间可度量化的充要条件是：（一）它是豪斯多夫空间（二）原点有一组可数的局部基。

拓扑向量空间之间的线性函数若在某一点连续，则在整个定义域上连续。一个线性泛函连续的充要条件是其核为闭子空间。

有限维向量空间有唯一的豪斯多夫拓扑，因此任何有限维拓扑向量空间都同构于 ${\displaystyle K^{n}}$ （带上确界范数：${\displaystyle \|(a_{1},\ldots ,a_{n})\|:=\sup |a_{i}|}$ ）。对于豪斯多夫拓扑向量空间，有限维等价于局部紧。

在应用中，我们常考虑具有一些附带拓扑性质的空间，以下是一些常见的种类，大致以其性质之“良好”与否排序。

• 局部凸拓扑向量空间：每一点都有一组由凸集构成的局部基。一个空间是局部紧当且仅当其拓扑可由一组半范数定义。局部紧性对某些“几何”论证（例如哈恩-巴拿赫定理）至关重要。
• F-空间：由一个具平移不变性的度量定义的完备拓扑向量空间，例子包括Lp空间（p > 0）。
• 弗雷歇空间：局部凸的 F-空间。许多有趣的函数空间都是弗雷歇空间。
• 核空间：使得映至任何巴拿赫空间的有界算子均为核算子的弗雷歇空间。
• 赋范向量空间与半赋范向量空间：顾名思义，即其拓扑由一范数或一族半范数定义的拓扑向量空间。在赋范向量空间中，一算子的连续性等价于有界性。
• 巴拿赫空间：完备赋范向量空间。泛函分析学大部奠基于此。
• 自反巴拿赫空间：使得自然映射 ${\displaystyle V\to V^{\wedge \wedge }}$  为同构的巴拿赫空间。非自反空间的重要例子之一是 ${\displaystyle L^{1}}$  空间。
• 希尔伯特空间：拓扑由一内积定义的拓扑向量空间。虽然这类空间可能是无穷维的，大部分有限维上的几何论证仍可照搬至此。
• 欧几里得空间：即有限维的豪斯多夫拓扑向量空间。

拓扑向量空间 ${\displaystyle V}$  的连续对偶空间定义为所有连续线性泛函构成的空间 ${\displaystyle V^{*}}$ ，其拓扑可定义为使对偶配对 ${\displaystyle V^{*}\times _{K}V\to K:(\lambda ,v)\mapsto \lambda (v)}$  为连续映射的最粗拓扑（称为弱-*拓扑）。当 ${\displaystyle V}$  为巴拿赫空间时， 可以藉算子范数在 ${\displaystyle V^{*}}$  上定义更细的拓扑，然而弱-*拓扑具有一些紧致性定理（巴拿赫-阿劳格鲁定理），因而在应用中仍相当重要。

• A Grothendieck: Topological vector spaces, Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1973.  
• Lang, Serge. Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. 1972. 
• F Trèves: Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels, Academic Press, 1967. ISBN 978-0-486-45352-1.