一个 -维多重指标是一个由整数构成的向量
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设 为多重指标,定义:
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应用最广的是非负的多重指标,此时可以定义:
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- (假设 )
- 设 ,定义
- 其中
命题。若 是非负的 维多重指标,且 ,则
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按定义直接操作即可证明。
多元微积分
多重指标可以将单变元微积分的许多结果直接推广到多变元。以下是几个例子:
多元幂级数:有两个以上变元的幂级数通常写成
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其中 是 -维多元指标而 ,以简化冗长的表法
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多项展开
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莱布尼茨公式:设 存在够高阶的导数,则
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泰勒展开式:对一多元解析函数f,当 充分小时有下述展开
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其实这不外是定义,多元指标在此提供了简练的表示法。
对于存在够高阶导数的函数,我们也有带余项的泰勒展开式:
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其中的最后一项(余项)有多种表法,例如柯西的积分表法:
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偏微分算子
一个形式上的 变元 -阶偏微分算子能以多重指标写成
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分部积分:对有界定义域 上的紧支集光滑函数,我们有
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此公式用以定义分布与弱导数。