阿贝尔群

集合和二元运算 ${\displaystyle (A,\cdot )}$  除了需要满足群公理以外，这个二元运算还需要满足交换律，即对于集合 ${\displaystyle A}$  中所有的 ${\displaystyle a,b}$ ，都满足 ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ 。因此阿贝尔群又称交换群。运算不满足交换律的群被称为“非阿贝尔群”或“非交换群”。

符号

群有两种主要表示运算的符号—加法和乘法。

运算	表示法	单位元	幂	逆元
加法运算	${\displaystyle x+y}$	0	${\displaystyle nx}$	${\displaystyle -x}$
乘法运算	${\displaystyle x\cdot y}$  或 ${\displaystyle xy}$	1	${\displaystyle x^{n}}$	${\displaystyle x^{-1}}$

乘法符号是群的常用符号，而加法符号是模的常用符号。当同时考虑阿贝尔群和非阿贝尔群时，加法符号还可以用来强调阿贝尔群是特定群。

乘法表

验证有限群是阿贝尔群，可以构造类似乘法表的一种表格（或说矩阵），称为凯莱表。如果群 ${\displaystyle G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}}$  在运算 ${\displaystyle \cdot }$  下，则这个表的 ${\displaystyle (i,j)}$  元素即是 ${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}}$ 。群是阿贝尔群当且仅当这个表是关于主对角线是对称的（或说这个矩阵是对称矩阵）。这是因为对于阿贝尔群，${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}}$ ，即表格中的 ${\displaystyle (i,j)}$  元素等于 ${\displaystyle (j,i)}$  元素。如下表所示：

• 整数集与加法运算构成阿贝尔群，记为${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ 。两个整数相加仍是整数，且加法有结合律。${\displaystyle 0}$  是加法单位元，所有整数 ${\displaystyle n}$  都有加法逆元 ${\displaystyle -n}$ 。加法运算有交换律，因为对于任意两个整数${\displaystyle m,n}$  都有 ${\displaystyle m+n=n+m}$ 。
• 所有循环群 ${\displaystyle G=\langle g\rangle }$  都是阿贝尔群。如果 ${\displaystyle x,y\in G}$  ，则 ${\displaystyle xy=g^{m}g^{n}=g^{m+n}=g^{n}g^{m}=yx}$ 。因此整数集 ${\displaystyle \mathbb{Z}}${\displaystyle \mathbb {Z} }   形成了在加法下的阿贝尔群，整数模${\displaystyle n}$  ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ 也是。
• 所有环都是关于它的加法运算的阿贝尔群。在交换环中的可逆元形成了阿贝尔乘法群。特别是实数集是在加法下的阿贝尔群，非零实数集在乘法下是阿贝尔群。
• 所有阿贝尔群的子群都是正规子群，所以每个子群都引发商群。阿贝尔群的子群、商群和直和也是阿贝尔群。

矩阵即使是可逆矩阵，一般不形成在乘法下的阿贝尔群，因为矩阵乘法一般是不可交换的。但是某些矩阵的群是在矩阵乘法下的阿贝尔群 - 一个例子是${\displaystyle 2\times 2}$  旋转矩阵的群。

阿贝尔群是Camille Jordan以挪威数学家尼尔斯·阿贝尔命名的，他首先察觉到了阿贝尔首先发表的这种群与根式可解性的联系的重要性。

如果 ${\displaystyle n}$  是自然数而 ${\displaystyle x}$  是阿贝尔群 ${\displaystyle (G,+)}$  的一个元素，则 ${\displaystyle nx}$  可以定义为 ${\displaystyle x+x+\cdots +x}$ （${\displaystyle n}$ 个数相加）并且 ${\displaystyle (-n)x=-(nx)}$ 。以这种方式，${\displaystyle G}$  变成在整数的环 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  上的模。事实上，在 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  上的模都可以被识别为阿贝尔群。

关于阿贝尔群（比如在主理想整环 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  上的模）的定理经常可以推广到在任意主理想整环上的模。典型的例子是有限生成阿贝尔群的分类是在主理想整环上的有限生成模的结构定理的特殊情况。在有限生成阿贝尔群的情况下，这个定理保证阿贝尔群可以分解为挠群和自由阿贝尔群的直和。前者可以被写为形如 ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} }$  对于素数 ${\displaystyle p}$  的有限多个群的直和，而后者是有限多个 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  的复本的直和。

如果 ${\displaystyle f,g:G\to H}$  是在阿贝尔群之间的两个群同态，则它们的和 ${\displaystyle f+g}$ ，定义为 ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ ，也是阿贝尔同态。（如果 ${\displaystyle H}$  是非阿贝尔群则这就不成立。）所有从 ${\displaystyle G}$  到 ${\displaystyle H}$  的群同态的集合 ${\displaystyle {\text{Hom}}(G,H)}$  因此是自身方式下的阿贝尔群。

某种程度上类似于向量空间的维度，所有阿贝尔群都有秩。它定义为群的线性无关元素的最大集合的势。整数集和有理数集和所有的有理数集的子群都有秩1。

整数模以 ${\displaystyle n}$  的循环群 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$  是最常见的群的例子。已证实了任意有限阿贝尔群都同构于素数阶的有限循环群的直和，并且这些阶数是唯一确定的，形成了一个不变量（invariant）的完备系统。有限阿贝尔群的自同构群可以依据这些不变量来直接描述。有关理论最初发展自费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯和Ludwig Stickelberger（英语：Ludwig Stickelberger）在1879年的论文，后来被简化和推广到在主理想整环上的有限生成模，形成了线性代数的一个重要组成部分。

分类

有限阿贝尔群的基本定理声称所有有限阿贝尔群 ${\displaystyle G}$  都可以表达为素数幂阶的循环子群的直和。这是有限生成阿贝尔群的基本定理在 ${\displaystyle G}$  有零秩时的特殊情况。

${\displaystyle mn}$ 阶的循环群${\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}$ 同构于${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$ 与${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ 的直和，当且仅当${\displaystyle m}$ 与${\displaystyle n}$ 是互素的。可推出任何有限阿贝尔群 ${\displaystyle G}$  同构于如下形式的直和

${\displaystyle \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}}$ 

以任何下列规范方式：

• 数 ${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{u}}$  是素数的幂
• ${\displaystyle k_{1}}$  整除 ${\displaystyle k_{2}}$ ，它又整除 ${\displaystyle k_{3}}$ ，如此直到 ${\displaystyle k_{u}}$ 。

例如，${\displaystyle \mathbb {Z} _{15}}$ 可以被表达为3阶和5阶的两个循环群的直和：${\displaystyle \mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}}$ 。对于任何15阶的阿贝尔群这也成立，导致了所有15阶阿贝尔群都是同构的的显著结论。

另一个例子，所有8阶段阿贝尔群都同构于要么 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$ (整数0到7在模8加法下)，${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ （奇数1到15在模16乘法下），要么 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ 。

小于等于16阶的有限阿贝尔群可参见小群列表。

自同构

可以应用基本定理去计数（有时确定）给定有限阿贝尔群 ${\displaystyle G}$  的自同构。要这么做，可利用如果 ${\displaystyle G}$  分解为互素阶的子群的直和 ${\displaystyle H\oplus K}$ ，则 ${\displaystyle \operatorname {Aut} (H\oplus K)\cong \operatorname {Aut} (H)\oplus \operatorname {Aut} (K)}$  的事实。

基本定理证明了要计算${\displaystyle G}$ 的自同构群，分别计算西罗 ${\displaystyle p}$ -子群的自同构群就足够了（也就是所有的循环子群的直和，每个都有 ${\displaystyle p}$  的幂的阶）。固定一个素数 ${\displaystyle p}$  并假设西罗 ${\displaystyle p}$ -子群的循环因子的指数 ${\displaystyle e_{i}}$  是按递增次序安排的：

${\displaystyle e_{1}\leq e_{2}\leq \cdots \leq e_{n}}$ 

对于某个 ${\displaystyle n>0}$ 。需要找到

${\displaystyle \mathbf {Z} _{p^{e_{1}}}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p^{e_{n}}}}$ 

的自同构。一个特殊情况是在 ${\displaystyle n=1}$  的时候，此时在西罗 ${\displaystyle p}$ -子群 ${\displaystyle P}$  中只有唯一一个循环素数幂因子。在这个情况下可以使用有限循环群的自同构的理论。另一个特殊情况是在 ${\displaystyle n}$  为任意的但 ${\displaystyle e_{i}=1}$  对于 ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$  的时候。这里考虑 ${\displaystyle P}$  为有着形式

${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p}}$ 

所以这个子群的元素可以被看作构成了在 ${\displaystyle p}$  元素的有限域 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$  上的 ${\displaystyle n}$  维向量空间。这个子群的自同构因此给出为可逆线性变换，因此

${\displaystyle \mathrm {Aut} (P)\cong \mathrm {GL} (n,\mathbb {F} _{p})}$ 

它早先证明了有阶

${\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (P)\right|=(p^{n}-1)\cdots (p^{n}-p^{n-1})}$ 

在最一般情况下，这里的${\displaystyle e_{i}}$ 和${\displaystyle n}$ 是任意的，自同构群更难于确定。但是已经知道了如果定义

${\displaystyle d_{k}=\max\{r\mid e_{r}=e_{k}^{\,}\}}$ 

并且

${\displaystyle c_{k}=\min\{r\mid e_{r}=e_{k}\}}$ 

则有着特别的 ${\displaystyle k\leq d_{k}}$ ，${\displaystyle c_{k}\leq k}$ ，并且

${\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (P)\right|=\prod _{k=1}^{n}(p^{d_{k}}-p^{k-1})\prod _{j=1}^{n}(p^{e_{j}})^{n-d_{j}}\prod _{i=1}^{n}(p^{e_{i}-1})^{n-c_{i}+1}.}$ 。

可以检查这会生成作为特殊情况的前面例子的阶（参见[Hillar, Rhea]）。

• 类域论
• 交换子群
• 初等阿贝尔群
• 有限生成阿贝尔群
• 自由阿贝尔群
• 庞特里亚金对偶性
• 秩1无挠阿贝尔群

• Fuchs, László（1970）Infinite abelian groups, Vol. I. Pure and Applied Mathematics, Vol. 36. New York-London: Academic Press. xi+290 pp. MR0255673
• ------（1973）Infinite abelian groups, Vol. II. Pure and Applied Mathematics. Vol. 36-II. New York-London: Academic Press. ix+363 pp. MR0349869
• Griffith, Phillip A. Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. 1970. ISBN 0-226-30870-7. 
• Hillar, Christopher and Rhea, Darren (2007), Automorphisms of finite abelian groups. Amer. Math. Monthly 114, no. 10, 917-923. [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Szmielew, Wanda (1955) "Elementary properties of abelian groups," Fundamenta Mathematica 41: 203-71.