加法单位元

数学里,一个具有加法运算集合中的加法单位元,是指不论它加上任何一个在此集合内的元素x都会等于x的元素。

基本例子

如:

5 + 0 = 5 = 0 + 5.
n + 0 = n = 0 + n.

形式定义

N是一个在加法运算下封闭的集合N的加法单位元即为任一个能使所有在N内的元素n有下列公式的元素e

e + n = n = n + e.

更多例子

  • 在一个里,加法单位元即是这个群的单位元,通常标记做0,并且是唯一的(见下面证明)。
  • 一个或一个也会是一个在加法运算下的,因此它们也会有一个唯一的加法单位元0。它被定义必须和乘法单位元1不同,若环(或体)有两个以上的元素时。如果加法单位元和乘法单位元是同一个的话,这个环则会是当然的(见下面证明)。
  • 在一个于群G上的mn矩阵所组成的群Mm×n(G)里,其加法单位元标记为0,且会是个其元素都是在G内的单位元0的mn矩阵。例如,在一个于整数上的2阶方阵M2(Z)里,其加法单位元为
 .

证明

加法单位元在一个群里是唯一的

令(G,+)是一个,且设0和0'是在G内的两个加法单位元,则对于所有在G内的g而言,

0 + g = g = g + 0 且 0' + g = g = g + 0'.

由上可得

(0') = (0') + 0 = 0' + (0) = (0)

故可证明 0 = 0'。

加法和乘法单位元在一个非平凡环里是不同的

R是一个,且假设加法单位元0和乘法单位元1会相等,即0=1。设r为于R内的任一元素,则

r = r × 1 = r × 0 = 0

其表示R必须是平凡的,亦即R={0}。再依照换质位法,即可得出若R不是平凡的,则0不会等于1的结论。

另见

外部链接

参考文献

  • David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.