加法单位元
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基本例子
如:
- 5 + 0 = 5 = 0 + 5.
- n + 0 = n = 0 + n.
形式定义
令N是一个在加法运算下封闭的集合。N的加法单位元即为任一个能使所有在N内的元素n有下列公式的元素e:
- e + n = n = n + e.
更多例子
- 一个环或一个体也会是一个在加法运算下的群,因此它们也会有一个唯一的加法单位元0。它被定义必须和乘法单位元1不同,若环(或体)有两个以上的元素时。如果加法单位元和乘法单位元是同一个的话,这个环则会是当然的(见下面证明)。
- .
证明
加法单位元在一个群里是唯一的
令(G,+)是一个群,且设0和0'是在G内的两个加法单位元,则对于所有在G内的g而言,
- 0 + g = g = g + 0 且 0' + g = g = g + 0'.
由上可得
- (0') = (0') + 0 = 0' + (0) = (0)
故可证明 0 = 0'。
加法和乘法单位元在一个非平凡环里是不同的
令R是一个环,且假设加法单位元0和乘法单位元1会相等,即0=1。设r为于R内的任一元素,则
- r = r × 1 = r × 0 = 0
其表示R必须是平凡的,亦即R={0}。再依照换质位法,即可得出若R不是平凡的,则0不会等于1的结论。
另见
外部链接
- 加法单位元在一个环里的唯一性 at PlanetMath.
- Margherita Barile. 加法單位元. MathWorld.
参考文献
- David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.