有理数

有理数在英文中称作rational number，来自拉丁语rationalis，意为理性的；词根ratio，拉丁语意为理性、计算。^[1]代表“比例”的英文ratio一词在历史上出现得要比有理数（rational number）一词更晚，前者最早有记录是1660，而后者是1570年。^[2][3]

有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的，亦即有理数加、减、乘、除有理数的结果仍为有理数。有理数的加法和乘法如下：

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}\,\ \ \ \ \ \ {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}$ 

两个有理数${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ 和${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$ 相等当且仅当${\displaystyle ad=bc}$ 

有理数中存在加法和乘法的逆：

${\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}\,\ \ \ \ \ \ \ \ a\neq 0}$ 时，${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}}$ 

古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如：

${\displaystyle {\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}}$ 

对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。

数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上${\displaystyle \left(a,b\right)}$ 的等价类，这里${\displaystyle b,d}$ 不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：

${\displaystyle \left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(ad+bc,bd\right)}$ 

${\displaystyle \left(a,b\right)\times \left(c,d\right)=\left(ac,bd\right)}$ 

为了使${\displaystyle {\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}}$ ，定义等价关系${\displaystyle \sim }$ 如下：

${\displaystyle \left(a,b\right)\sim \left(c,d\right){\mbox{ iff }}ad=bc}$ 

这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集：${\displaystyle \mathbb {Q} =\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} -\{0\})/\sim }$ 。例如：两个对${\displaystyle (a,b)}$ 和${\displaystyle (c,d)}$ 是相同的，如果它们满足上述等式。（这种构建可用于任何整数环，参见商域。）

定义大小

Q上的大小可以定义为：

${\displaystyle \left(a,b\right)\leq \left(c,d\right)}$ 当且仅当

1. ${\displaystyle bd>0}$ 并且${\displaystyle ad\leq bc}$ 
2. ${\displaystyle bd<0}$ 并且${\displaystyle ad\geq bc}$ 

然后${\displaystyle x<y}$ 是指${\displaystyle x\leq y}$ 但${\displaystyle y\nleq x}$ 。亦可在“小于”概念之上引入“大于”的概念，即：${\displaystyle a<b}$ 当且仅当${\displaystyle b>a}$ 。此排序中，每一对有理数${\displaystyle a,b}$ 之间皆可比较，必有且仅有以下关系之一：

${\displaystyle a=b}$ ，${\displaystyle a>b}$ ，${\displaystyle a<b}$ 。

又满足传递性：若${\displaystyle a<b}$ ，且${\displaystyle b<c}$ ，则${\displaystyle a<c}$ 。所以以上定义的大小关系是全序关系。

有理数集的序还满足稠密性（英语：dense order）：若${\displaystyle a<b}$ ，则必存在有理数${\displaystyle c}$ ，满足${\displaystyle a<c}$ ，且${\displaystyle c<b}$ 。^[4]

集合${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 的商域。

有理数是特征为0的域最小的一个：所有其他特征为0的域都包含${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的一个拷贝（即存在一个从${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 到其中的同构映射）。

${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的代数闭包，例如有理数多项式的根的域，是代数数域。

所有有理数的集合是可数的，亦即是说${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的基数（或势）与自然数集合${\displaystyle \mathbb {N} }$ 相同，都是阿列夫数${\displaystyle \aleph _{0}}$ ，这是因为可以定义一个从有理数集${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 映至自然数集合的笛卡尔积 ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ 的单射函数，而${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ 是可数集合之故。因为所有实数的集合是不可数的，所以从勒贝格测度来看，可以认为绝大多数实数不是有理数。

有理数的序是个稠密序（英语：dense order）：任何两个有理数之间存在另一个有理数，事实上是存在无穷多个。此外，有理数集也没有最大和最小元素，所以是无端点的可数稠密全序（dense linear order without endpoints）。康托尔同构定理（英语：Cantor's isomorphism theorem）说明，任何无端点的可数稠密全序必定序同构于有理数的序，换言之，若不辨同构之异，则有理数的大小序是唯一具此性质的序结构。

有理数是实数的稠密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。

依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量${\displaystyle d\left(x,y\right)=|x-y|}$ ，有理数构成一个度量空间，这是${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的完备集。

除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 转化到拓扑域：

设${\displaystyle p}$ 是素数，对任何非零整数${\displaystyle a}$ 设${\displaystyle |a|_{p}=p^{-n}}$ ，这里${\displaystyle p^{n}}$ 是整除${\displaystyle a}$ 的${\displaystyle p}$ 的最高次幂；

另外${\displaystyle |0|_{p}=0}$ 。对任何有理数${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ ，设${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}}$ 。

则${\displaystyle d_{p}\left(x,y\right)=|x-y|_{p}}$ 在${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上定义了一个度量。

度量空间${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,d_{p}\right)}$ 不完备，它的完备集是p进数域${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ 。

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