超越数

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数论中,超越数(transcendental number)是指任何一个不是代数数的无理数。只要它不是任何一个有理系数代数方程,它即是超越数。最著名的超越数是e以及π

几乎所有实数复数都是超越数,这是因为代数数的集合是可数集,而实数和复数的集合是不可数集之故。

定义

超越数是代数数的相反,也即是说若 是一个超越数,那么对于任何整数 都符合:

 

(其中 

例子

超越数的例子包括:

  • 钱珀瑙恩数
  • 刘维尔数 
    它是第一个确认为超越数的数,是于1844年刘维尔发现的。
  •  (参见:e)。
  •   ,其中 是除0以外的代数数。
  •  (参见:圆周率
    林德曼-魏尔斯特拉斯定理,1882年,注:因 是超越数而证明尺规作图中的“化圆为方”的不可实现性。
  •  (参见:e的π次方
  •  (参见:2的√2次方)。
    更一般地,若 以外的任何代数数 无理代数数 必为超越数。这就是格尔丰德-施奈德定理
  •  (参见:正弦
  •  (参见:自然对数),其中 为一不等于1的有理数
  •  (参见:朗伯W函数),其中 为一有理数
  •          (参见伽玛函数)。

所有超越数构成的集是一个不可数集,也就是说,几乎所有的实数和复数都是超越数;尽管如此,现今发现的超越数极少,甚至连 是不是超越数也不知道,因为要证明一个数是超越数或代数数是十分困难的。

超越数的证明,给数学带来了大的变革,解决了几千年来数学上的难题——尺规作图三大问题,即倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。随着超越数的发现,这三大问题被证明为不可能。

可能的超越数

以下数仍待证明为超越数或代数数:

  • e 的大多数和、积、幂等等,例如 ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  尚未得知是有理数、代数无理数或超越数。值得注意的例外是 ,   (对于所有正整数  )已被证明是超越数[1][2]
  • 欧拉-马歇罗尼常数 ,尚未被证明是无理数
  • 卡塔兰常数,未被证明是无理数
  • 阿培里常数  ,是无理数
  • 黎曼ζ函数在其他奇整数的取值, (尚未被证明是无理数)
  • 费根鲍姆常数  ,皆未证明是否为无理数
  • 米尔斯常数,未证明是否为无理数
  • 辛钦常数,未证明是否为无理数
  • 科普兰-埃尔德什常数,是无理数

猜想:

简要地证明是超越数

第一个对自然对数底 e是超越数的证明可以追溯到1873年。我们现在跟随的是大卫·希尔伯特的策略。他给出了夏尔·埃尔米特的原始证明的简化。思路如下所示:

为寻找矛盾,假设 是代数数。那就存在一个有限的整系数集 满足下列等式:

 

现在对于一个正整数 ,我们定义如下的多项式:

 

并在上述等式的两端乘上

 

于是我们得到等式:

 

该等式可以写成这种形式

 

其中

 
 

引理 1. 对于恰当选择的的   是非零整数。

证明: P 的每一项都是整数乘以阶乘的和,这可以从以下的关系式得出

 

对于任何正整数 j 成立(考虑Γ函数)。

它是非零的,因为对于每一个满足 0< ana

 

中的被积函数均为 e−x 乘以一些项的和,在积分中用 x - a 替换 x 后, x 的最低幂次是 k+1 。然后这就变成了具有以下形式的积分的和

 

其中 k+1 ≤ j ,而且它是一个能被 (k+1)! 整除的整数。在除以 k! 后,我们得到模 (k+1) 得 0 的数。不过,我们可以写成:

 

于是

 

通过选择 k ,使得 k+1 是大于 n 与 |c0| 的质数,我们可以得出   模 (k+1) 为非零,从而该数为非零整数。

引理 2. 对于充分大的 k 

证明: 注意到

 

使用   区间 [0,n] 的上限 G 和 H ,我们可以推出

 

从而

 

于是有

 

这点足以完成对引理的证明。

注意可以选择满足两个引理的 ,从而我们能得出矛盾。进而得以证明 的超越性。

马勒的分类

库尔特·马勒英语Kurt Mahler在1932年把超越数分为3类,分别叫做S数T数U数[3]。这些类别的定义利用了刘维尔数思想的扩充。

实数的无理性度量

一种定义刘维尔数的方式是考虑对于给定的实数 ,可以使得一次多项式 尽可能小但不精确地等于 0 。这里的  ,  是满足 ,  以正整数 为界的整数。

 为这些多项式所取的最小非零绝对值,并且令:

 
 

 常称为实数 无理性度量measure of irrationality)。对于有理数 ,而且对无理数其值至少为1 。刘维尔数可以定义为具有无穷大的无理性度量的数。Thue–Siegel–Roth定理英语Thue–Siegel–Roth theorem表明了实代数无理数的无理性度量均为 1 。

复数的超越性度量

接下来考虑多项式对于复数 的取值,这些多项式系数为整数,次数至多为 ,而且英语Height of a polynomial至多为 ,此处的 ,  是正整数。

 为以 为变量的上述多项式所取的最小非零值,并且令:

 
 

假如对于尽可能小的正整数  为无穷大,则这种情况下复数 称为 次的U数

现在我们可以定义

 

 常称为 超越性度量measure of transcendence)。假如 有界,则 有限, 称为S数。如果 有限而无界,则 称为T数 为代数数当且仅当 

显然刘维尔数是U数的子集。威廉·勒维克英语William J. LeVeque在1953年构造了任意次数的U数[4][5]。刘维尔数是不可数集,从而U数也是。它们的测度为 0 [6]

T数组成的集合测度亦为 0 [7]。人们花了 35 年时间证明它们存在。沃尔夫冈·M·施密特英语Wolfgang M. Schmidt在 1968 年证明了T数的样例存在。由是可知几乎所有复数都是S数[8]。马勒证明了当 为任意非零代数数时 均为S数[9][10]:这点揭示了 是S数且给出了 的超越性证明。对于 我们至多知道它不是U数。其他更多的超越数仍未归类。

两个数 ,  称为代数相关,当存在 2 个变量的整系数非零多项式 满足 。一个有力的定理指出,属于相同马勒分类的 2 个复数是代数相关的[5][11]。这允许我们构造新形式的超越数,例如刘维尔数与  的和。

通常推测 S 代表马勒的老师卡尔·西格尔(Carl Ludwig Siegel),而 T 和 U 是接下来的两个字母。

Koksma 的等价分类

Jurjen Koksma英语Jurjen Koksma 在 1939 年提出了基于代数数逼近的另一种分类[3][12]

考虑用次数 且高 的代数数逼近复数 。令 为该有限集中满足 取最小正值得代数数。定义  如下:

 
 

若对于最小的正整数  为无穷大,则称  次的U*数

 有界且不收敛到 0 ,则则称 S*数

一个数 被称为 A*数 ,当 收敛到 0 。

若所有的 均为有限但无界,则称 xT*数

Koksma和马勒的分类是等价的,因为它们将超越数以同样的方式分类[12]A*数就是代数数[8]

勒维克的构造

 

可以证明 (刘维尔数)的 次方根是 次的U数[13]

此构造可以改进以建立 次U数的不可数个系列。令 为上述 的级数中 10 的幂次的集合。 所有子集的集合是不可数的。在表示 的级数中删去任意一个 的子集,将产生不可数个显然的刘维尔数,它们每一个的 次方根都是次数为 的U数。

类型

数列 的上界称为类型type)。几乎所有实数都是类型为 1 的S数,此类型数在实S数中是最小的。几乎所有复数都是类型为 1/2 的S数,此类型数在复S数中同样是最小的。以上判断对于几乎所有数成立的猜想由马勒提出,于 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 证明[4]

参考文献

  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Irrational Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  2. ^ Modular functions and transcendence questions, Yu. V. Nesterenko, Sbornik: Mathematics(1996), 187(9):1319. [2015-03-08]. (原始内容存档于2015-04-02). 
  3. ^ 3.0 3.1 Bugeaud (2012) p.250
  4. ^ 4.0 4.1 Baker (1975) p. 86.
  5. ^ 5.0 5.1 LeVeque (2002) p.II:172
  6. ^ Burger and Tubbs, p. 170.
  7. ^ Burger and Tubbs, p. 172.
  8. ^ 8.0 8.1 Bugeaud (2012) p.251
  9. ^ LeVeque (2002) pp.II:174–186
  10. ^ Burger and Tubbs, p. 182.
  11. ^ Burger and Tubbs, p. 163.
  12. ^ 12.0 12.1 Baker (1975) p.87
  13. ^ Baker(1979), p. 90.

参见