第一个对自然对数底 e是超越数的证明可以追溯到1873年。我们现在跟随的是大卫·希尔伯特的策略。他给出了夏尔·埃尔米特的原始证明的简化。思路如下所示:
为寻找矛盾,假设 是代数数。那就存在一个有限的整系数集 满足下列等式:
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现在对于一个正整数 ,我们定义如下的多项式:
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并在上述等式的两端乘上
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于是我们得到等式:
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该等式可以写成这种形式
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其中
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引理 1. 对于恰当选择的的 , 是非零整数。
证明: P 的每一项都是整数乘以阶乘的和,这可以从以下的关系式得出
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对于任何正整数 j 成立(考虑Γ函数)。
它是非零的,因为对于每一个满足 0< a ≤ n 的 a ,
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中的被积函数均为 e−x 乘以一些项的和,在积分中用 x - a 替换 x 后, x 的最低幂次是 k+1 。然后这就变成了具有以下形式的积分的和
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其中 k+1 ≤ j ,而且它是一个能被 (k+1)! 整除的整数。在除以 k! 后,我们得到模 (k+1) 得 0 的数。不过,我们可以写成:
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于是
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通过选择 k ,使得 k+1 是大于 n 与 |c0| 的质数,我们可以得出 模 (k+1) 为非零,从而该数为非零整数。
引理 2. 对于充分大的 k , 。
证明: 注意到
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使用 和 在区间 [0,n] 的上限 G 和 H ,我们可以推出
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从而
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于是有
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这点足以完成对引理的证明。
注意可以选择满足两个引理的 ,从而我们能得出矛盾。进而得以证明 的超越性。
库尔特·马勒在1932年把超越数分为3类,分别叫做S数、T数和U数[3]。这些类别的定义利用了刘维尔数思想的扩充。
实数的无理性度量
一种定义刘维尔数的方式是考虑对于给定的实数 ,可以使得一次多项式 尽可能小但不精确地等于 0 。这里的 , 是满足 , 以正整数 为界的整数。
令 为这些多项式所取的最小非零绝对值,并且令:
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常称为实数 的无理性度量(measure of irrationality)。对于有理数 ,而且对无理数其值至少为1 。刘维尔数可以定义为具有无穷大的无理性度量的数。Thue–Siegel–Roth定理表明了实代数无理数的无理性度量均为 1 。
复数的超越性度量
接下来考虑多项式对于复数 的取值,这些多项式系数为整数,次数至多为 ,而且高至多为 ,此处的 , 是正整数。
令 为以 为变量的上述多项式所取的最小非零值,并且令:
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假如对于尽可能小的正整数 , 为无穷大,则这种情况下复数 称为 次的U数。
现在我们可以定义
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常称为 的超越性度量(measure of transcendence)。假如 有界,则 有限, 称为S数。如果 有限而无界,则 称为T数。 为代数数当且仅当 。
显然刘维尔数是U数的子集。威廉·勒维克在1953年构造了任意次数的U数[4][5]。刘维尔数是不可数集,从而U数也是。它们的测度为 0 [6]。
T数组成的集合测度亦为 0 [7]。人们花了 35 年时间证明它们存在。沃尔夫冈·M·施密特在 1968 年证明了T数的样例存在。由是可知几乎所有复数都是S数[8]。马勒证明了当 为任意非零代数数时 均为S数[9][10]:这点揭示了 是S数且给出了 的超越性证明。对于 我们至多知道它不是U数。其他更多的超越数仍未归类。
两个数 , 称为代数相关,当存在 2 个变量的整系数非零多项式 满足 。一个有力的定理指出,属于相同马勒分类的 2 个复数是代数相关的[5][11]。这允许我们构造新形式的超越数,例如刘维尔数与 或 的和。
通常推测 S 代表马勒的老师卡尔·西格尔(Carl Ludwig Siegel),而 T 和 U 是接下来的两个字母。
Koksma 的等价分类
Jurjen Koksma 在 1939 年提出了基于代数数逼近的另一种分类[3][12]。
考虑用次数 且高 的代数数逼近复数 。令 为该有限集中满足 取最小正值得代数数。定义 和 如下:
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若对于最小的正整数 , 为无穷大,则称 为 次的U*数。
若 有界且不收敛到 0 ,则则称 为S*数,
一个数 被称为 A*数 ,当 收敛到 0 。
若所有的 均为有限但无界,则称 x 为T*数,
Koksma和马勒的分类是等价的,因为它们将超越数以同样的方式分类[12]。A*数就是代数数[8]。
勒维克的构造
令
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可以证明 (刘维尔数)的 次方根是 次的U数[13]。
此构造可以改进以建立 次U数的不可数个系列。令 为上述 的级数中 10 的幂次的集合。 所有子集的集合是不可数的。在表示 的级数中删去任意一个 的子集,将产生不可数个显然的刘维尔数,它们每一个的 次方根都是次数为 的U数。
类型
数列 的上界称为类型(type)。几乎所有实数都是类型为 1 的S数,此类型数在实S数中是最小的。几乎所有复数都是类型为 1/2 的S数,此类型数在复S数中同样是最小的。以上判断对于几乎所有数成立的猜想由马勒提出,于 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 证明[4]。