E的π次方
又称格尔丰德常数(英语:Gelfond's constant)是一个数学常数。与e和π一样,它是一个超越数。这可以用格尔丰德-施奈德定理来证明,并注意到:
e的π次方 | |
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命名 | |
数字 | |
名称 | e的π次方 格尔丰德常数 |
识别 | |
种类 | 无理数 超越数 |
符号 | |
位数数列编号 | A039661 |
性质 | |
以此为根的多项式或函数 | |
表示方式 | |
值 | 23.140692632779269 |
二进制 | 10111.001001000000010001101110… |
十进制 | 23.140692632779269005729086… |
十六进制 | 17.24046EB093399ECDA7489F9A… |
其中i是虚数单位。由于−i是代数数,但肯定不是有理数,因此eπ是超越数。这个常数在希尔伯特第七问题中曾提到过。一个相关的常数是,又称为格尔丰德-施奈德常数。相关的值也是无理数[1]。
数值
在十进制中,eπ大约为
它的值可以用以下迭代来求出。定义
其中
则
迅速收敛于 。
几何中的独特之处
n维球体的体积由以下公式给出:
所以,任何一个偶数维的单位球具有体积:
把所有偶数维的单位球的体积加起来,得出:[2]
相似或相关的常数
拉马努金常数
即所谓的拉马努金常数,是黑格纳数的一个应用,其中 的 163 是问题中用到的黑格纳数。
同 eπ - π 一样,eπ√163 非常接近整数:
- 537412640768743.9999999999992500725971981856888793538563373369908627075374103782106479101186073129... 262
虽然这个数是由法国数学家夏尔·埃尔米特在 1859 年所发现,但印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金第一个预测它非常接近整数,因而以他为名。
这种非常近似于 6403203 + 744 的巧合,可以用 j-invariant的复数乘法及q展开来表示。
且
而 O(e-π√163) 是误差项。
这解释了为何 eπ√163 比 6403203 + 744 小了 0.000 000 000 000 75 。(这个证明的细节,可以参考黑格纳数)。
数 eπ - π
由 A018938 所给出 eπ - π 的十进制表示为
- 0999791894757672664429846690444960689368432251061724701018172165259444042437848889371717254321516... 19.999
尽管这个数非常接近正整数 20 ,但目前没有关于这个现象的解释;因此,被认为是一种数学巧合。
数 πe
由 A059850 给出的 πe 十进制表示为:
- 1577183610454734271522045437350275893151339966922492030025540669260403991179123185197527271430315... 22.459
目前还不知此数是否是超越数。
须注意的是,根据 格尔丰德-施奈德定理,只有在 a 是代数数,而 b 是非有理数(a,b 都是复数,且 a ≠ 0, a ≠ 1)的情况下,ab 才为超越数。
之所以可以证明 eπ 是超越数,其原因在于复数的指数形式,因为 π 可以被视为复数 eπ 的模,而根据 (-1)-i 的等式,才可以使用 格尔丰德-施奈德定理 。
πe 则没有如此的等式,所以,尽管 π 和 e 都是超越数,但我们不能由此说 πe 是超越数。
数 eπ - πe
如同 πe,我们仍不知 eπ - πe 是否是超越性质的。甚至,目前还没有证明说它是无理数:
由 A059850 给出的 eπ - πe 十进制表示为:
- 5349144182235323019341634048123526767911086035197442420438554574163102913348711984522443404061881... 0.681
数 ii
由 A059850给出的 ii 十进制表示为:
- 8795763507619085469556198349787700338778416317696080751358830554198772854821397886002778654260353... 0.207
因为上述等式,可用格尔丰德-施奈德定理证明格尔丰德常数的平方根倒数也是超越的:
i 是代数数,但同时不是有理数,由此ii 是超越数。