格尔丰德-施奈德定理(英语:Gelfond–Schneider theorem)是一个可以用于证明许多数的超越性的结果。这个定理由苏联数学家亚历山大·格尔丰德和德国数学家西奥多·施耐德在1934年分别独立证明,它解决了希尔伯特第七问题。
表述
如果 和 是代数数,其中 ,且 不是有理数,那么任何 的值一定是超越数。
评论
- 和 不限于实数,也可以是虚部不为零的复数。因此, 可以是多值的,其中“log”表示复数对数,且该定理对每个值都是成立的。
- 该定理的一个等价的表述是:如果 和 是非零的代数数,那么 要么是有理数,要么是超越数。
- 使用反证法。
- 令
- 假设 不为超越数,也不为有理数,即为代数数
- 根据此定理, 为超越数
- 但 却是代数数,矛盾。
- 故 要么是有理数,要么是超越数。
- 如果没有 , 是代数数的限制,这个定理未必成立。例如:
- 令 为超越数(由本定理可得知), 为代数数,则
- ,是代数数。
- 令 为代数数, 为超越数,则
- ,是代数数。
定理的应用
利用这个定理,立刻就可以推出以下实数的超越性:
- (格尔丰德-施奈德常数)和它的平方根 。
- 格尔丰德常数
-
参见
- 林德曼-魏尔斯特拉斯定理
- Schanuel猜想,如果证明了这个猜想,就可以同时推出格尔丰德-施奈德定理和林德曼-魏尔斯特拉斯定理。
参考文献