格尔丰德-施奈德定理

格尔丰德-施奈德定理(英语:Gelfond–Schneider theorem)是一个可以用于证明许多数的超越性的结果。这个定理由苏联数学家亚历山大·格尔丰德英语Alexander Gelfond和德国数学家西奥多·施耐德在1934年分别独立证明,它解决了希尔伯特第七问题

表述

如果  代数数,其中 ,且 不是有理数,那么任何 的值一定是超越数

评论

  •    不限于实数,也可以是虚部不为零的复数。因此, 可以是多值的,其中“log”表示复数对数,且该定理对每个值都是成立的。
  • 该定理的一个等价的表述是:如果    是非零的代数数,那么   要么是有理数,要么是超越数。
使用反证法。
 
假设   不为超越数,也不为有理数,即为代数数
根据此定理,  为超越数
  却是代数数,矛盾。
  要么是有理数,要么是超越数。
  • 如果没有    是代数数的限制,这个定理未必成立。例如:
    •   为超越数(由本定理可得知),  为代数数,则
 ,是代数数。
    •   为代数数,  为超越数,则
 ,是代数数。

定理的应用

利用这个定理,立刻就可以推出以下实数的超越性:

  •  格尔丰德-施奈德常数)和它的平方根  
  • 格尔丰德常数

 

  •  

参见

  • 林德曼-魏尔斯特拉斯定理
  • Schanuel猜想,如果证明了这个猜想,就可以同时推出格尔丰德-施奈德定理和林德曼-魏尔斯特拉斯定理。

参考文献

  • Irrational Numbers, by Ivan Niven; Mathematical Association of America; 埃里克·韦斯坦因. Gelfond-Schneider Theorem. MathWorld.