希尔伯特第七问题

希尔伯特第七问题希尔伯特的23个问题之一,此问题涉及无理数超越数

命题叙述

给定以下两个等价[1]叙述:

  1. 等腰三角形中,若底角和顶角的比值为无理数的代数数,则底边和侧边长度的比值是否恒为超越数?
  2.  是无理数且为代数数、 是非 的代数数,那么 (例如  = )是否恒为超越数?

问题的解决

第二个问题已于1934年由苏联数学家阿勒克山德·格尔丰德俄语Гельфонд, Александр Осипович证明,德国数学家西奥多·施耐德也在1935年独立证明此问题,他们证明的结果即为格尔丰德-施奈德定理。( 是无理数的条件是必要的,否则令  为一代数数)

在第二个问题成立后,也意味着第一个问题成立。

此问题的推广为贝克定理艾伦·贝克凭借此一成果获得1970年的菲尔兹奖

参照

参考文献

  1. ^ Feldman; Nesterenko. Number Theory IV. Parshin, A. N. (编). Transcendental Numbers. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 1998: 146–147. ISBN 978-3-540-61467-8. 

外部链接