格尔丰德-施奈德常数

尽管已知 ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$  是超越数，自然也就会是无理数。但在不知道它是无理数的情况下，仍可以证明此事。

命题：在在 a, b 是无理数，使得 ${\displaystyle a^{b}}$ 为有理数。

证明：

已知${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 是无理数，考虑 ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ ，它有可能是有理数，也可能是无理数。

• 若 ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$  是有理数，即得证。
• 若 ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$  是无理数，则

${\displaystyle \left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}=({\sqrt {2}})^{{\sqrt {2}}\ \times {\sqrt {2}}}=({\sqrt {2}})^{2}=2.}$ 

为有理数，得证。

希尔伯特的第七个问题是要证明（或找出反例），如果a是一个不等于0或1的代数数，b是一个无理代数数，则a^b总是超越数。他给出了两个例子，其中一个就是${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ 。

1919年，他发表了一个关于数论的演讲，谈到了三个猜想：黎曼猜想、费马大定理和${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ 的超越性。他对观众说，在你们还活着的时候肯定没人证明这三个猜想。^[4]但这个数的超越性在1934年得出证明^[5]，当时希尔伯特还活着。

• e的π次方
• 希尔伯特数

1. ^ Courant, R.; Robbins, H., What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press: 107, 1996 
2. ^ R. O. Kuzmin. On a new class of transcendental numbers. Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. matem. 1930, 7: 585–597. 
3. ^ Aleksandr Gelfond. Sur le septième Problème de Hilbert. Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na. 1934, VII (4): 623–634 [2021-11-01]. （原始内容存档于2020-06-11）. 
4. ^ David Hilbert, Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919-1920.
5. ^ Aleksandr Gelfond, Sur le septième Problème de Hilbert, Bull. Acad. Sci. URSS Leningrade 7, pp.623-634, 1934.