数论

数论（英语：Number theory）是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。被誉为“最纯”的数学领域。

数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。^[1]^{[注 1]}
——卡尔·弗里德里希·高斯

简介

正整数按乘法性质划分，可以分成质数，合数，1，质数产生了很多一般人能理解却又悬而未解的问题，如哥德巴赫猜想，孪生质数猜想等。即，很多问题虽然形式上十分初等，事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。数论除了研究整数及质数外，也研究一些由整数衍生的数（如有理数）或是一些广义的整数（如代数整数）。

整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。

历史

古代

数论早期也称为算术^{[注 2]}，而算术一词则表示“基本运算”^{[注 3]}^[3]，在现代数论诞生前，早期铺垫有三大内容：

欧几里得证明素数无穷多个。
寻找素数的埃拉托斯特尼筛法；欧几里得求最大公约数的辗转相除法。
公元420至589年（中国南北朝时期）的孙子定理。

中世纪

在中世纪早期，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的数学家斐波那契有关等差数列的研究外，西欧在数论上没有什么进展。

中世纪数论主要是指15-16世纪由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的数论。最早是在文艺复兴的末期，对于古希腊著作的重新研究。主要的成因是因为丢番图的《算术》（Arithmetica）一书的校正及翻译为拉丁文，早在1575年Xylander曾试图翻译，但不成功，后来才由Bachet在1621年翻译完成。

近代

费马

皮埃尔·德·费马（1601–1665）没有著作出版，他在数论上的贡献几乎都在他写给其他数学家的信上，以及书旁的空白处^[4]。费马的贡献几乎没有数论上的证明^[5]，不过费马重复的使用数学归纳法，并引入无穷递降法。

费马最早的兴趣是在完全数及相亲数，因此开始研究整数因数，这也开始1636年之后的数学研究，也接触到当时的数学社群^[6]。他已在1643年研读过巴歇（英语：Claude Gaspard Bachet de Méziriac）版本的丢番图著作，他的兴趣开始转向丢番图方程和平方数的和^[7]。

费马在数论上的贡献有：

费马小定理 (1640)^[8]，若 $a$ 不是质数 $p$ 的倍数，则 $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.$
若 $a$ 和 $b$ 互质，则 $a^{2}+b^{2}$ 无法被任何除4后同余-1的质数整除^[9]，而且每个除4后同余1的质数都可以表示为 $a^{2}+b^{2}$ .^[10]，这二个是在1640年证明的，在1649年他在写给惠更斯的信上提到他用无穷递降法证明的第二个问题^[11]，费马和福兰尼可（英语：Frenicle）在其他平方形式上也有一些贡献，不过其中有些错误及不严谨之处^[12]。
向英国的数学家提出了求解 $x^{2}-Ny^{2}=1$ 的挑战（1657年），但在几个月后就由Wallis及Brouncker证明^[13]。费马认为他们的证明有效，但用了一个在其中未经证明的算法，费马自己是由无穷递降法找到证明。
发展许多找亏格0或1曲线上点的方法，作法类似丢番图，有许多特殊的步骤，使用了切线法构建曲线，而不是用割线法^[14]。
证明 $x^{4}+y^{4}=z^{4}$ 不存在非寻常的正整数解。

费马在1637年声称（费马最后定理）证明了对于大于2的任意整数 $n$ ，不存在 $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ 的非寻常的正整数解（目前已知唯一的证明是由数学家安德鲁·怀尔斯及其学生理查·泰勒于1994年完成的证明），但只在一本丢番图著作的旁边写到，而且他没有向别人宣称他已有了证明^[15]。

欧拉

欧拉(1707–1783)对数论的兴趣最早是由他的朋友哥德巴赫所引发，让他开始专注在费马的一些研究上^[16]^[17]，在费马没有使当代的数学家注意此一主题后，欧拉的出现称为“现代数论的重生”^[18]。欧拉数论的贡献包括以下几项^[19]：

费马研究的证明，包括费马小定理（欧拉延伸到非质数的模数），以及 $p=x^{2}+y^{2}$ 当且仅当 $p\equiv 1\;mod\;4$ ，这项研究可推导到所有整数都可以表示为四个平方数的证明（第一个完整证明是由约瑟夫·拉格朗日提出，费马很快的也提出证明），和 $x^{4}+y^{4}=z^{2}$ 没有非零整数解的证明，表示为费马最后定理 $n=4$ 时成立，欧拉用类似方式证明了 $n=3$ 的情形。
佩尔方程，最早误以为是欧拉证明^[20]，欧拉也写了连分数和佩尔方程的关系^[21]。
二次式，继费马之后，欧拉继续研究哪些质数可以表示为 $x^{2}+Ny^{2}$ ，其中有些显示二次互反律的性质^[22] ^[23]^[24]。
丢番图方程：欧拉研究一些亏格为0或1的丢番图方程^[25]^[26]，特别的是他研读丢番图的著作，试图要找到系统化的方法，但时机尚不成熟，几何数论才刚形成而已^[27]。欧拉有注意到丢番图方程和椭圆积分之间的关系^[27]。

分支

初等数论: 意指使用不超过高中程度的初等代数处理的数论问题，最主要的工具包括整数的整除性与同余。重要的结论包括中国余数定理、费马小定理、二次互反律等等。

解析数论: 借助微积分及复分析的技术来研究关于整数的问题^[28]，主要又可以分为积性数论（英语：Multiplicative number theory）与加性数论两类。积性数论借由研究积性生成函数的性质来探讨质数分布的问题，其中质数定理与狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题，华林问题是该领域最著名的课题。此外例如筛法、圆法等等都是属于这个范畴的重要议题。
代数数论: 引申代数数的话题，关于代数整数的研究，主要的研究目标是为了更一般地解决不定方程的问题，而为了达到此目的，这个领域与代数几何之间有相当关联，比如类域论（class field theory）就是此间的颠峰之作。
算术代数几何: 研究有理系数多变数方程组的有理点，其结构（主要是个数）和该方程组对应的代数簇的几何性质之间的关系，有名的费马最后定理、莫德尔猜想（法尔廷斯定理）、Weil猜想（英语：Weil conjectures），和千禧年大奖难题中的贝赫和斯维讷通-戴尔猜想都属此类。
几何数论: 主要在于透过几何观点研究整数（在此即格子点）的分布情形。最著名的定理为闵可夫斯基定理。
计算数论: 借助电脑的算法帮助数论的问题，例如素数测试和因数分解等和密码学息息相关的话题。
超越数论: 研究数的超越性，其中对于欧拉常数与特定的黎曼ζ函数值之研究尤其令人感到兴趣。
组合数论: 利用组合和几率的技巧，非构造性地证明某些无法用初等方式处理的复杂结论。这是由保罗·埃尔德什开创的思路。
模形式: 数学上一个满足一些泛函方程与增长条件、在上半平面上的（复）解析函数。

应用

密码学
孙子定理
素数
哥德巴赫猜想
素数公式
埃拉托斯特尼筛法
双生质数
有限域
p进数

注释

^ 德语原文“Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik.”
^ 1952年时数学家哈罗德·达文波特（英语：Harold Davenport）仍用“高等算术”一词来表示数论，戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特在1938年写《数论介绍》简介时曾提到“我们曾考虑过将书名改为《算术介绍》，某方面而言是更合适的书名，但也容易让读者误会其中的内容”^[2]
^ 不过在20世纪的后半，有部分数学家仍会用“算术”一词来表示数论。到20世纪初，才开始使用数论的名称

参考资料

^ The Queen of Mathematics. [2014-09-30]. （原始内容存档于2014-10-06）.
^ Apostol, Tom M. An introduction to the theory of numbers. (Review of Hardy & Wright.) Mathematical Reviews (MathSciNet) MR0568909. American Mathematical Society. n.d. [2013-05-06]. （原始内容存档于2012-07-31）.
^ Heath, Thomas L. A History of Greek Mathematics, Volume 1: From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press. 1921 [2016-02-28].
^ Weil 1984，第45–46页.
^ Weil 1984，第118页，数论比其他数学领域容易出现这様的情形（说明在Mahoney 1994，第284页）
^ Mahoney 1994，第48, 53–54页
^ Weil 1984，第53页.
^ Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 209, Letter XLVI from Fermat to Frenicle, 1640, cited in Weil 1984，第56页
^ Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 204, cited in Weil 1984，第63页
^ Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 213.
^ Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 423.
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^ Varadarajan 2006，第44–47页.
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^ Edwards 1983，第285–291页.
^ Varadarajan 2006，第55–56页.
^ Weil 1984，第179–181页.
^ ^27.0 ^27.1 Weil 1984，第181页.
^ Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001

参考书目

Weil, André. Number theory: an approach through history – from Hammurapi to Legendre,. Boston: Birkhäuser. 1984 [2014-10-06]. ISBN 978-0-8176-3141-3. （原始内容存档于2014-10-12）.
Mahoney, M. S. The mathematical career of Pierre de Fermat, 1601–1665 Reprint, 2nd. Princeton University Press. 1994 [2014-10-06]. ISBN 978-0-691-03666-3. （原始内容存档于2014-10-12）.
Tannery, Paul; Henry, Charles (eds.); Fermat, Pierre de. Oeuvres de Fermat. (4 Vols.). Paris: Imprimerie Gauthier-Villars et Fils. 1891 （法语及拉丁语）. Volume 1 Volume 2 Volume 3 Volume 4 (1912)
Varadarajan, V. S. Euler through time: a new look at old themes. American Mathematical Society. 2006 [2014-10-06]. ISBN 978-0-8218-3580-7. （原始内容存档于2014-10-12）.
Edwards, Harold M. Euler and quadratic reciprocity. Mathematics Magazine (Mathematical Association of America). November 1983, 56 (5): 285–291. JSTOR 2690368. doi:10.2307/2690368.

外部链接

（英文） Number Theory Web （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[2] 德语原文“Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik.”

[4] 1952年时数学家哈罗德·达文波特（英语：Harold Davenport）仍用“高等算术”一词来表示数论，戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特在1938年写《数论介绍》简介时曾提到“我们曾考虑过将书名改为《算术介绍》，某方面而言是更合适的书名，但也容易让读者误会其中的内容”^[2]

[5] 不过在20世纪的后半，有部分数学家仍会用“算术”一词来表示数论。到20世纪初，才开始使用数论的名称

[1] The Queen of Mathematics. [2014-09-30]. （原始内容存档于2014-10-06）.

[3] Apostol, Tom M. An introduction to the theory of numbers. (Review of Hardy & Wright.) Mathematical Reviews (MathSciNet) MR0568909. American Mathematical Society. n.d. [2013-05-06]. （原始内容存档于2012-07-31）.

[6] Heath, Thomas L. A History of Greek Mathematics, Volume 1: From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press. 1921 [2016-02-28].

[FOOTNOTEWeil198445–46-7] Weil 1984，第45–46页.

[8] Weil 1984，第118页，数论比其他数学领域容易出现这様的情形（说明在Mahoney 1994，第284页）

[9] Mahoney 1994，第48, 53–54页

[FOOTNOTEWeil198453-10] Weil 1984，第53页.

[11] Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 209, Letter XLVI from Fermat to Frenicle, 1640, cited in Weil 1984，第56页

[12] Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 204, cited in Weil 1984，第63页

[FOOTNOTETanneryHenry1891Vol._II,_p._213-13] Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 213.

[FOOTNOTETanneryHenry1891Vol._II,_p._423-14] Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 423.

[FOOTNOTEWeil198480,_91–92-15] Weil 1984，第80, 91–92页.

[FOOTNOTEWeil198492-16] Weil 1984，第92页.

[FOOTNOTEWeil1984Ch._II,_sect._XV_and_XVI-17] Weil 1984，Ch. II, sect. XV and XVI.

[FOOTNOTEWeil1984104-18] Weil 1984，第104页.

[FOOTNOTEWeil19842,_172-19] Weil 1984，第2, 172页.

[FOOTNOTEVaradarajan20069-20] Varadarajan 2006，第9页.

[21] Weil 1984，第2页 and Varadarajan 2006，第37页

[22] Varadarajan 2006，第39页 and Weil 1984，第176–189页

[Eulpell-23] Weil 1984，第174页

[FOOTNOTEWeil1984183-24] Weil 1984，第183页.

[FOOTNOTEVaradarajan200644–47-25] Varadarajan 2006，第44–47页.

[FOOTNOTEWeil1984177–179-26] Weil 1984，第177–179页.

[FOOTNOTEEdwards1983285–291-27] Edwards 1983，第285–291页.

[FOOTNOTEVaradarajan200655–56-28] Varadarajan 2006，第55–56页.

[FOOTNOTEWeil1984179–181-29] Weil 1984，第179–181页.

[FOOTNOTEWeil1984181-30] 27.0 ^27.1 Weil 1984，第181页.

[31] Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001

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