无穷递降法此条目没有列出任何参考或来源。 (2013年5月14日)维基百科所有的内容都应该可供查证。请协助补充可靠来源以改善这篇条目。无法查证的内容可能会因为异议提出而移除。无穷递降法,又名无穷递减法(英语:Proof by infinite descent),是数学中证明方程无解的一种方法。 目录 1 步骤 2 一些实用的例子 2.1 a2+b2=3(s2+t2)无非平方解 2.2 '"`UNIQ--postMath-0000000B-QINU`"'的无理性 3 参见 步骤 假设方程有解,并设X为最小的解。 从X推出一个更小的解Y。 从而与X的最小性相矛盾。所以,方程无解。一些实用的例子 a2+b2=3(s2+t2)无非平方解 证明下列方程无正整数解: a 2 + b 2 = 3 ⋅ ( s 2 + t 2 ) , {\displaystyle a^{2}+b^{2}=3\cdot (s^{2}+t^{2}),\,} 证明: 假设该方程有正整数解。 设 a 1 , b 1 , s 1 , t 1 {\displaystyle a_{1},b_{1},s_{1},t_{1}} 为最小的解。即 a 1 2 + b 1 2 = 3 ⋅ ( s 1 2 + t 1 2 ) {\displaystyle a_{1}^{2}+b_{1}^{2}=3\cdot (s_{1}^{2}+t_{1}^{2})} 显然, a 1 {\displaystyle a_{1}} 和 b 1 {\displaystyle b_{1}} 都必须能被3整除。设 3 a 2 = a 1 {\displaystyle 3a_{2}=a_{1}\,} 及 3 b 2 = b 1 . {\displaystyle 3b_{2}=b_{1}.\,} 我们得到 ( 3 a 2 ) 2 + ( 3 b 2 ) 2 = 3 ⋅ ( s 1 2 + t 1 2 ) {\displaystyle (3a_{2})^{2}+(3b_{2})^{2}=3\cdot (s_{1}^{2}+t_{1}^{2})} 3 ( a 2 2 + b 2 2 ) = s 1 2 + t 1 2 . {\displaystyle 3(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})=s_{1}^{2}+t_{1}^{2}.\,} 这是更小的解,与 a 1 , b 1 , s 1 , t 1 {\displaystyle a_{1},b_{1},s_{1},t_{1}} 的最小性相矛盾。所以,原方程无正整数解。 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 的无理性 主条目:2的算术平方根 假设 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 是有理数,即 p 2 = 2 q 2 {\displaystyle p^{2}=2q^{2}} 有正整数解。 令 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 是此方程的最小解 易知 p {\displaystyle p} 是偶数,从得 q {\displaystyle q} 是偶数 ⇒ ( p / 2 , q / 2 ) < ( p , q ) {\displaystyle (p/2,q/2)<(p,q)} 和 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 是此方程的最小解矛盾,故无正整数解 ⇒从得 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 是无理数 参见 韦达跳跃 反证法