2的算术平方根

人们发现了许多方法证明${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 是无理数。以下是反证法的证明

常见的证明

1. 假设${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 是有理数，即有整数${\displaystyle a_{0}}$ 、${\displaystyle b_{0}}$ ，使得${\displaystyle {\frac {a_{0}}{b_{0}}}={\sqrt {2}}}$ 
2. 将${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 重写成最简分数${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ，即${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle b}$ 互素，且${\displaystyle \left({\tfrac {a}{b}}\right)^{2}=2}$ 
3. 所以${\displaystyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2}$ ，即${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$ 
4. 因为${\displaystyle 2b^{2}}$ 必为偶数，故${\displaystyle a^{2}}$ 亦是偶数
5. 故${\displaystyle a}$ 为偶数（奇数的平方不会是偶数）
6. 所以必有一整数${\displaystyle k}$ ，使得${\displaystyle a=2k}$ 
7. 将（3）的式子代入（6）：${\displaystyle 2b^{2}=\left(2k\right)^{2}}$ 
8. 化简得${\displaystyle b^{2}=2k^{2}}$ 
9. 因为${\displaystyle 2k^{2}}$ 是偶数，所以${\displaystyle b^{2}}$ 是偶数，${\displaystyle b}$ 亦是偶数
10. 所以${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle b}$ 都是偶数，跟${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ 是最简分数的假设矛盾
11. 因为导出矛盾，所以（1）的假设错误，${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 不是有理数，即是无理数

这个证明可推广至证明任何非完全平方数的正整数${\displaystyle n}$ ，其算术平方根${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ 为无理数。

另一个证明

另外一个${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 是无理数的反证法证明较少为人所知，但证明方法也相当漂亮：

1. 假设${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 是有理数，便可以表示成最简分数${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ ，其中${\displaystyle m}$ , ${\displaystyle n}$ 为正整数
2. ${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {\sqrt {2}}{1}}={\frac {(2-{\sqrt {2}})({\sqrt {2}}+1)}{2-1}}={\frac {(2-{\sqrt {2}})({\sqrt {2}}+1)}{({\sqrt {2}}-1)({\sqrt {2}}+1)}}={\frac {2-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}-1}}}$ 
3. 由于${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}}$ ，所以${\displaystyle {\frac {2-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}-1}}={\frac {2-{\frac {m}{n}}}{{\frac {m}{n}}-1}}={\frac {2n-m}{m-n}}}$ 
4. 因为${\displaystyle {\frac {m-n}{n}}={\sqrt {2}}-1}$ 
5. ${\displaystyle 2>{\sqrt {2}}\Rightarrow 1+1>{\sqrt {2}}\Rightarrow {\sqrt {2}}-1<1}$ 
6. 所以${\displaystyle m-n<n}$ 
7. 故${\displaystyle {\frac {2n-m}{m-n}}}$ 是比${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ 更简的分数，与${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ 是最简分数的假设矛盾

从一个直角边为${\displaystyle n}$ ，斜边为${\displaystyle m}$ 的等腰直角三角形，可以用尺规作图作出直角边为${\displaystyle m-n}$ ，斜边为${\displaystyle 2n-m}$ 的等腰直角三角形。这是古希腊几何学家的作图证明方法。

2的算术平方根可以表示为以下的级数或无穷乘积：

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(4k+2)^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\left(1-{\frac {1}{36}}\right)\left(1-{\frac {1}{100}}\right)\cdots }$ 

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)^{2}}{(4k+1)(4k+3)}}=\left({\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right)\left({\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\left({\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right)\left({\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right)\cdots }$ 

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4k+1}}\right)\left(1-{\frac {1}{4k+3}}\right)=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{5}}\right)\left(1-{\frac {1}{7}}\right)\cdots .}$ 

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2k}}{(2k)!}}.}$ 

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(2k-3)!!}{(2k)!!}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}+\cdots .}$ 

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k+1)!}{(k!)^{2}2^{3k+1}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {15}{64}}+{\frac {35}{256}}+{\frac {315}{4096}}+{\frac {693}{16384}}+\cdots .}$ 

2的算术平方根的连分数展开式为：

${\displaystyle \!\ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}.}$ 

^[注1]

• 3的算术平方根
• 5的算术平方根
• 平方根
• 无理数

• ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 是无理数的六个证明，香港大学数学系萧文强（页面存档备份，存于互联网档案馆）（Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2）
• 旧题新解 — 根号2是无理数，张海潮 张镇华^{[永久失效链接]}（数学传播 第 30 卷 第 4 期）