反证法

给出命题 ${\displaystyle p}$  和命题 ${\displaystyle {\bar {p}}}$ （非 ${\displaystyle p}$ ），根据排中律，两者之中起码有一个是真（更强的说法为，除了真和假之外并无其他的情况），所以如果其中一个是假的，另一个就必然是真。给出命题 ${\displaystyle q}$  和命题 ${\displaystyle {\bar {q}}}$ （非 ${\displaystyle q}$ ），根据无矛盾律，两者同时为真的情况为假。给出命题 ${\displaystyle p}$  和 ${\displaystyle r}$ ，根据否定后件律，如果若 ${\displaystyle p}$  成立时出现 ${\displaystyle r}$ ，则 ${\displaystyle r}$  为假时 ${\displaystyle p}$  即为假。反证法在要证明 ${\displaystyle p}$  时，透过显示出若 ${\displaystyle {\bar {p}}}$  成立时出现矛盾（${\displaystyle q}$  和 ${\displaystyle {\bar {q}}}$ ），即 ${\displaystyle {\bar {p}}}$  为假，从而证明 ${\displaystyle p}$  为真。

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 是无理数的证明（古希腊人）

证明：假设${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 是有理数，那么可以写成 ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$  的形式，其中 ${\displaystyle p}$ 、${\displaystyle q}$  皆为正整数且 ${\displaystyle p}$ 、${\displaystyle q}$  互质。那么有

• ${\displaystyle p={\sqrt {2}}\times q}$ 
• ${\displaystyle p^{2}=2\times q^{2}}$ 

可得 ${\displaystyle p^{2}}$ 是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以 ${\displaystyle p}$  也是偶数。因此可设 ${\displaystyle p=2s}$ ，从而 ${\displaystyle p^{2}=4s^{2}}$ ，代入上式，得：${\displaystyle q^{2}=2s^{2}}$ 。所以 ${\displaystyle q^{2}}$ 也是偶数，故可得 ${\displaystyle q}$  也是偶数。这样 ${\displaystyle p}$ 、${\displaystyle q}$  都是偶数，不互质，这与假设 ${\displaystyle p}$ 、${\displaystyle q}$  互质矛盾，假设不成立。因此${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 为无理数。

数学上有许多的定理可用反证法来证明，以下是一小部分的例子：

1. 证明有无限多个质数。
2. 任意6人当中，求证或者有3人两两相识，或者有3人互不相识。
3. 现有90张纸，每张纸都写有一个非负整数，已知这90个数之和小于1980，证明至少有三张数目相同的纸。
4. 集合 ${\displaystyle S=\{x:0<x<1\}}$  没有最小值。
5. 设 ${\displaystyle n}$  是大于1的整数，若所有小于或等于${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ 的质数都不能整除 ${\displaystyle n}$ ，则 ${\displaystyle n}$  是质数。
6. 已知三角形ABC是锐角三角形，且${\displaystyle \angle A>\angle B>\angle C}$ 。求证：${\displaystyle \angle B>45^{\circ }}$ 。
7. 已知 ${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$  为正实数，求证：${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}}$ 。
8. 已知 ${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 、${\displaystyle c}$ 、${\displaystyle d}$  是实数，且${\displaystyle ad-bc=1}$ ，求证：${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ab+cd\neq 1}$ 。
9. 一个群若同时是交换群和单群，则该群是循环群
10. 若一个循环群是单群，则该群的阶为质数
11. 若一个循环群的阶为质数，则该群为单群
12. 鸽笼原理

• 英国数学家高德菲·哈罗德·哈代在他的文章《一个数学家的辩白》描述：“欧几里得最喜欢用的反证法，是数学家最精良的武器。它比起棋手所用的任何战术还要好：棋手可能需要牺牲一只兵甚至更多，但数学家却是牺牲整个棋局来获得胜利。”

• 归谬法
• 排中律
• 直觉主义逻辑：一种不承认排中律的逻辑系统
• 数学构成主义
• 可反证性

• J. Franklin and A. Daoud, Proof in Mathematics: An Introduction, Quakers Hill Press, 1996, ch. 6