等差数列,又名算术数列(英语:Arithmetic sequence[註 1]),是数列的一种。在等差数列中,任何相邻两项的差相等,该差值称为公差(common difference)。
例如数列:
- 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...
就是一个等差数列。 在这个数列中,从第二项起,每项与其前一项之公差都相等 。
性质
如果一个等差数列的首项记作 a1,公差记作 d,那么该等差数列第 n 项 an 的一般项为:
-
换句话说,任意一个等差数列 {an} 都可以写成
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在一个等差数列中,给定任意两相连项 an+1 和 an ,可知公差
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给定任意两项 am 和 an ,则有公差
-
此外,在一个等差数列中,选取某一项,该项的前一项与后一项之和,为原来该项的两倍。举例来说,a1 + a3 = 2a2。
更一般地说,有:
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证明如下:
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证毕。
从另一个角度看,等差数列中的任意一项,是其前一项和后一项的算术平均:
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此结果从上面直接可得。
如果有正整数 m, n, p, q,使得 ,那么则有:
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证明如下:
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由此可将上面的性质一般化成:
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其中 k 是一个小于 n 的整数。
给定一个等差数列 ,则有:
- 是一个等差数列。
- 是一个等差数列。
- 是一个等比数列。
- 是一个等谐数列。
从等差数列的一般项可知,任意一个可以写成
-
形成的数列,都是一个等差数列,其中公差 d = q,首项 a = p + q。
等差数列和
一个等差数列的首 n 项之和,称为等差数列和(sum of arithmetic sequence)或算术级数(arithmetic series),记作 Sn。
举例来说,等差数列 {1, 3, 5, 7} 的和是 1 + 3 + 5 + 7 = 16。
等差数列求和的公式如下:
-
等差数列和在中文教科书中常表达为:
- 一个等差数列的和,等于其首项与末项的和,乘以项数除以2。
公式证明如下:
将等差数列和写作以下两种形式:
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将两公式相加来消掉公差 d,可得
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整理可得第一种形式。
代入 ,可得第二种及第三种形式。
从上面的第三种形式展开可见,任意一个可以写成
-
形成的数列和,其原来数列都是一个等差数列,其中公差 d = 2q,首项 a = p + q。
等差数列积
一个等差数列的首 n 项之积,称为等差数列积(product of arithmetic sequence),记作 Pn。
举例来说,等差数列 {1, 3, 5, 7} 的积是 1 × 3 × 5 × 7 = 105。
等差数列积的公式较为复杂,须以Γ函数表示:
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证明如下:
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这里的 为 x 的 n 次上升阶乘幂,例子如 。
使用上面的例子,对于数列 {1, 3, 5, 7} :
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结果相等。
参见
注释
参考文献