数列

考虑到最一般的数为复数，可以作如下的定义：^[1]

在教学上常会如下标示有限数列，来增进对定义的直观理解：

${\displaystyle \left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{n}=\left\langle a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\cdots ,\,a_{n}\right\rangle }$ 

以上表达式中的每一个数被称为这个数列的“项”。${\displaystyle a_{1}}$  为数列的“第一项”、${\displaystyle a_{2}}$  为“第二项”，以此类推。${\displaystyle n}$  被称为有限数列的项数。数列中的第一项常称为“首项”，最后一项则称为“末项”。注意有限数列也可以设为 ${\displaystyle \left\langle a_{k}\right\rangle _{k=0}^{n}}$  ，换句话说，把 ${\displaystyle 0}$  加入数列的定义域，并以第零项 ${\displaystyle a_{0}}$  作为首项。无穷数列只有首项，没有末项，但类似的，也有人把 ${\displaystyle 0}$  踢出无穷数列的定义域，让无穷数列的首项为 ${\displaystyle a_{1}}$  。

数列中各个项的和称为“级数”，换句话说

一般会将 ${\displaystyle {\left\{s_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }}$  写为 ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}}$  ，甚至更直观的 ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}}$  来凸显级数源于＂求和＂的直观概念。

级数的概念可以推广至数列以外的序列，比如说函数序列的函数级数（英语：function series）。

单调性

• 若对所有 n ∈ Z⁺ ，a_n+1 ≥ a_n ，则称数列 ⟨a_k⟩ 为“递增数列”。把 ≥ 换成 > ，则称为“严格递增数列”。
• 若对所有 n ∈ Z⁺ ，a_n+1 ≤ a_n ，则称数列 ⟨a_k⟩ 为“递减数列”。把 ≤ 换成 < ，则称为“严格递减数列”。
• 若对所有 n ∈ Z⁺ ，a_n+1 = a_n ，则称数列 ⟨a_k⟩ 为“常数数列”。

有限性

• 若数列 ${\displaystyle \left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{n}}$  的项数有限，则 ⟨a_k⟩ 为“有限数列”。
• 若数列 ${\displaystyle \left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{\infty }}$  的项数无限，则 ⟨a_k⟩ 为“无穷数列”。

有界性

• 若对所有 n ∈ Z⁺ ，M ≤ a_n ≤ N ，则称数列 ⟨a_k⟩ 为“有界数列”。 M 称为“下界”， N 称为“上界”。
• 若对数列 ⟨a_k⟩ ，上述的 M 、 N 不存在，则称数列 ⟨a_k⟩ 为“无界数列”。

一个关于数列很重要的性质是收敛，如果一个数列收敛，它收敛到的东西便是它的极限值，一个数列收敛，那它便是收敛数列，否则为发散数列。

简单的说，一个数列${\displaystyle \{x_{n}\}}$ 有极限，便是它的数列中的元素逐渐地越来越靠近${\displaystyle L}$ (我们称为极限值)，但是它们仍然任意得很靠近极限值${\displaystyle L}$ ，而不是真的等于。

举例来说:当 ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}}$  时，随着n的数字增加，可以看到它逐渐趋向于0。当 ${\displaystyle a_{n}=5-{\frac {3n^{2}-9}{n^{2}+1}}}$ 时，随着n的数字增加，可以看到它逐渐趋向于2。

此外，值得注意的是，当一个数列有极限值时，它的极限值一定是唯一的。一般来说，当数列收敛，我们会记${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}$ 

收敛正式定义

我们说一个实数的数列${\displaystyle \{a_{n}\}}$ 收敛到实数${\displaystyle L}$ ，如果有对任意的${\displaystyle \epsilon >0}$  ，存在一个正整数${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ，使得对所有的${\displaystyle n\geq N}$ ，有${\displaystyle |a_{n}-L|<\epsilon }$ 

• 等差数列：是一种特殊数列。数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。

例如数列${\displaystyle 1,3,5,7,9,\cdots ,9995,9997,9999,\cdots }$ 。

这就是一个等差数列，因为第二项与第一项的差和第三项与第二项的差相等，都等于${\displaystyle 2,9999}$ 与${\displaystyle 9997}$ 的差也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的差称之为公差，符号为${\displaystyle d}$ ，但是${\displaystyle d}$ 可为0。

若设首项${\displaystyle a_{1}=a}$ ，则等差数列的通项公式为${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$ 。

• 多阶等差数列：又称高阶等差数列，中国则称之为“素数相关数列”。

把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，如果这个新的数列是普通等差数列，原数列就称为二阶等差数列。

由此类推，把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，再把这个新的数列的所有后项与前一项之差组成另一个新的数列，如此进行下去，直到最后的数列如果是普通等差数列，那么原数列就是多阶等差数列。

普通等差数列可以视为一阶等差数列，因而常数数列实际就是零阶等差数列。

• 等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

例如数列${\displaystyle 2,4,8,16,32,\cdots ,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots }$ 。

这就是一个等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，都等于2，${\displaystyle 2^{198}}$ 与${\displaystyle 2^{197}}$ 的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比，符号为${\displaystyle r}$ 。

若设首项${\displaystyle a_{1}=a}$ ，则等比数列的通项公式为${\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}}$ 。

• 斐波那契数列：是一种特殊数列。它的特点是：首两项均是1，从第3项起，每一项均为前两项的和。

以数学符号表示，即${\displaystyle a_{1}=a_{2}=1}$ ，且对于${\displaystyle n\geq 3}$ ，${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}}$ 。

斐波那契数列的通项公式为${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]}$ 。

• 素数数列：目前找不到规律的特殊数列，即：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…………

• 正负相间：${\displaystyle (-1)^{n}}$ 或${\displaystyle (-1)^{n-1}}$ 

• 隔项有零：${\displaystyle {\frac {1}{2}}[(-1)^{n}+1]}$ 或${\displaystyle {\frac {1}{2}}[(-1)^{n-1}+1]}$ 

通常对第1项到第${\displaystyle n}$ 项求和，记为${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ 。此求和符号是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉使用和推广的。

一个特殊数列求和：奇数数列。1，3，5，7，9，...。其和为项数${\displaystyle n}$ 的平方。例如：1+3=2²,1+3+5=3²。

通常，从实际问题中会先得到一个递推关系式，但是可能会难以观察出数列中某一项的项数和具体大小之间的规律。所以需要求出这个数列的通项公式。以下是一些常见的递推式化简方法。通项公式的求解在积分学、线性代数、概率论、组合数学、趣味数学、数学物理、数学建模、数值分析、分形等领域中都会遇到。没有一种解法是通用的。求不出通项公式或只能进行估算的情形也可能出现。

数学归纳法

求出该数列的前数项，归纳其通项公式，然后用数学归纳法证明公式正确。

数学归纳法是最基本的方法，但对观察和归纳的能力要求比较高。如果猜不出规律，则不能使用此方法。

逐差全加

给定数列差${\displaystyle d_{n}}$ 时逐差全加，例如：

${\displaystyle a_{1}=1}$ ，${\displaystyle d_{n}=a_{n}-a_{n-1}=2n}$ ,求${\displaystyle a_{n}}$ 

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+\sum _{k=2}^{n}d_{k}=n^{2}+n-1}$ 

逐商全乘

给定数列比${\displaystyle r_{n}}$ 时逐差全乘，例如：

${\displaystyle a_{1}=1}$ ，${\displaystyle r_{n}={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}={\frac {n}{n-1}}}$ ，求${\displaystyle a_{n}}$ 

${\displaystyle a_{n}=a_{1}\prod _{k=2}^{n}r_{k}=n}$ 

从和式求通项

如果已知数列和的公式，那么通项的求解非常容易。由${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{n}}$ 可知${\displaystyle S_{n}-S_{n-1}=a_{n}}$ 

把${\displaystyle S_{n}}$ 看成一个数列，可以先对${\displaystyle S_{n}}$ 进行求解，然后得出${\displaystyle a_{n}}$ 。

换元法

换元法用于从形式上简化表达式，以突出问题的本质。换元法一般不单独使用，而是和其它方法结合使用。中学数学中常用的有对数换元法、三角函数换元法，还有用得很少的双曲函数换元法。

不动点法

对于形如齐次分式的递推关系，可利用不动点来推导。

已知${\displaystyle Aa_{n+1}+Ba_{n}+C=0}$ ，其中${\displaystyle A}$ 、${\displaystyle B}$ 、${\displaystyle C}$ 都是常数，求${\displaystyle a_{n}}$ 。
求这类数列的通项公式，一般的方法就是将之化成一个新的等比数列。

• 如果${\displaystyle A\neq -B}$ ，那么这个式子就可以化成下面的形式：

${\displaystyle A(a_{n+1}+k)=-B(a_{n}+k)}$ 。
求出${\displaystyle k}$ ，那么数列${\displaystyle {a_{n}+k}}$ 就是一个等比数列，从而求出通项公式。

• 如果${\displaystyle A=-B}$ ，这个递推关系就不能化为等比数列。如果${\displaystyle A=-B}$ ，那么它就是等差数列。另外，当${\displaystyle A=B}$ 的时候，它是一个等和数列。从这个问题我们可以看到，等和数列也可以化成一个等比数列。
• 除此之外也可以这样将之化成等比数列：

${\displaystyle Aa_{n+1}+Ba_{n}+C=0}$ 
${\displaystyle Aa_{n}+Ba_{n-1}+C=0}$ 
两边相减就有：${\displaystyle A(a_{n+1}-a_{n})+B(a_{n}-a_{n-1})=0}$ ，如此就化成了一个等比数列。

已知${\displaystyle Aa_{n+1}+Ba_{n}+Ca_{n-1}+D=0}$ ,其中${\displaystyle A}$ 、${\displaystyle B}$ 、${\displaystyle C}$ 、${\displaystyle D}$ 都为常数，求${\displaystyle a_{n}}$ ；
与上述数列一样，它们一定可以化成下面的形式：
${\displaystyle Aa_{n+1}+Ea_{n}=k(Aa_{n}+Ea_{n-1})-D}$ 
求出对应系数，于是就转化成了前面那种形式，然后就可以求出数列${\displaystyle {Aa_{n}+Ea_{n-1}}}$ 的通项公式，然后求出${\displaystyle a_{n}}$ 的通项公式。实际上这是一种逐步化简的方法。

其它方法

其它常用方法包括导数求通项法、组合数学中的母函数方法、特征方程法，这些一般是在大学课程或是部分高中的进阶课程中学到。其中特征方程法专门用于线性递推关系式的化简，与求解线性微分方程的特征方程法非常类似。

拓朴

分析

线性代数

抽象代数

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