母函数

瑞士数学家雅各布·伯努利在考虑“当投掷n粒骰子时，加起来点数总和等于m的可能方式的数目”这个问题时首先使用了母函数方法，并得出可能的数目是${\displaystyle (x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6})^{n}}$ 的展开式中${\displaystyle x^{m}}$ 项的系数。之后欧拉在研究自然数的分解时也使用了母函数方法并奠定了母函数方法的基础。1812年，法国数学家拉普拉斯在著作《概率的分析理论》的第一卷中系统地研究了母函数方法及与之有关的理论。

普通母函数

普通母函数就是最常见的母函数。一般来说，序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 的母函数是：

${\displaystyle G(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ 

如果${\displaystyle a_{n}}$  是某个离散随机变量的概率质量函数，那么它的母函数被称为一个概率母函数。

多重下标的序列也可以有母函数，例如序列${\displaystyle (a_{m,n})_{m\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {N} }}$  的母函数是

${\displaystyle G(a_{m,n};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }a_{m,n}x^{m}y^{n}}$ 。

指数母函数

序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 的指数母函数是：

${\displaystyle EG(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}$ 

泊松母函数

序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 的泊松母函数是：

${\displaystyle PG(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-x}{\frac {x^{n}}{n!}}}$ 

L级数

序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 的L级数是：

${\displaystyle LG(a_{n};x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}}$ 

注意这里的下标 n 从1 而不是0 开始。

贝尔级数

关于算术函数 :${\displaystyle f(n)}$  和 ${\displaystyle p}$  的贝尔级数是：

${\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}}$ 

狄利克雷级数母函数

狄利克雷级数经常被用作母函数，尽管实际上狄利克雷级数并不是严格意义上的形式幂级数。序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 的狄利克雷级数母函数是：

${\displaystyle DG(a_{n};s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$ 

当 ${\displaystyle a_{n}}$  是积性函数时狄利克雷级数比较有用，因为这时的母函数可以写成一系列贝尔级数的欧拉积：

${\displaystyle DG(a_{n};s)=\prod _{p}f_{p}(p^{-s})\,}$ 

如果 ${\displaystyle a_{n}}$ 是狄利克雷特征，那么它对应的狄利克雷级数母函数被称为狄利克雷L函数。

求和

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{n}={\frac {1}{1-x}}}$ 用于等比数列求和或推导级数${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n^{m}x^{n}}$ 。

不定方程的解数

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\binom {n+k}{k}}x^{n}={\frac {1}{(1-x)^{k+1}}}}$ 用于求解一次不定方程的解数，类似隔板法。

对于非负整数${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{k}}$ ，${\displaystyle x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n}$ 有${\displaystyle {\binom {n+k-1}{k-1}}}$ 个解：

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{k}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {n+k-1}{k-1}}x^{n}}$ 

对于非负整数${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{k}}$ ，${\displaystyle x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=m}$ 有${\displaystyle {\binom {[{\frac {m}{2}}]+2}{2}}}$ 个解：

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{(1-x)(1-x^{2})^{2}}}={\frac {1+x}{(1-x^{2})^{3}}}=(1+x)\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {n+2}{2}}x^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {n+2}{2}}x^{2n}+{\binom {n+2}{2}}x^{2n+1}}$ ^[2]

• 矩母函数
• 其他处理数列的组合技巧，如：
  • 递推关系