狄利克雷L函数在数学中,狄利克雷L函数是狄利克雷级数的特例,它是形如下式的复变数函数 L ( s , χ ) = ∑ n = 1 ∞ χ ( n ) n s . {\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.} 在此 χ {\displaystyle \chi } 是一个狄利克雷特征, s ∈ C {\displaystyle s\in \mathbb {C} } 的实部大于一。此函数可解析延拓为整个复平面上的亚纯函数。 约翰·彼得·狄利克雷证明对所有 χ {\displaystyle \chi } 具有 L ( 1 , χ ) ≠ 0 {\displaystyle L(1,\chi )\neq 0} ,并借此证明狄利克雷定理。若 χ {\displaystyle \chi } 是主特征,则 L ( s , χ ) {\displaystyle L(s,\chi )} 在 s = 1 {\displaystyle s=1} 有单极点。 零点 若 χ {\displaystyle \chi } 是原特征, χ ( − 1 ) = 1 {\displaystyle \chi (-1)=1} ,则 L ( s , χ ) {\displaystyle L(s,\chi )} 在 R e ( s ) < 0 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)<0} 的零点是负偶数。 若 χ {\displaystyle \chi } 是原特征, χ ( − 1 ) = − 1 {\displaystyle \chi (-1)=-1} ,则 L ( s , χ ) {\displaystyle L(s,\chi )} 在 R e ( s ) < 0 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)<0} 的零点是负奇数。不论可能的西格尔零点,狄利克雷L函数有与黎曼ζ函数相似的无零点区域,包括 { s : R e ( s ) ≥ 1 } {\displaystyle \{s:\mathrm {Re} (s)\geq 1\}} 。一如黎曼ζ函数,狄利克雷L函数也有相应的广义黎曼猜想。 函数方程 假设 χ {\displaystyle \chi } 是模 k {\displaystyle k} 的原特征。定义 Λ ( s , χ ) = ( π k ) − ( s + a ) / 2 Γ ( s + a 2 ) L ( s , χ ) , {\displaystyle \Lambda (s,\chi )=\left({\frac {\pi }{k}}\right)^{-(s+a)/2}\Gamma \left({\frac {s+a}{2}}\right)L(s,\chi ),} 此处 Γ {\displaystyle \Gamma } 表Γ函数,而符号 a {\displaystyle a} 由下式给出 a = { 0 , χ ( − 1 ) = 1 , 1 , χ ( − 1 ) = − 1 , {\displaystyle a={\begin{cases}0,&\quad \chi (-1)=1,\\1,&\quad \chi (-1)=-1,\end{cases}}} 则有函数方程 Λ ( 1 − s , χ ¯ ) = i a k 1 / 2 τ ( χ ) Λ ( s , χ ) . {\displaystyle \Lambda (1-s,{\overline {\chi }})={\frac {i^{a}k^{1/2}}{\tau (\chi )}}\Lambda (s,\chi ).} 此处的 τ ( χ ) {\displaystyle \tau (\chi )} 表高斯和 ∑ n = 1 k χ ( n ) exp ( 2 π i n / k ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\chi (n)\exp(2\pi in/k).} 我们亦有 | τ ( χ ) | = k 1 2 {\displaystyle |\tau (\chi )|=k^{\frac {1}{2}}} 。 文献 H. Davenport. Multiplicative Number Theory. Springer. 2000. ISBN 0-387-95097-4.