高斯和

在数论中，高斯和是一种单位根的有限和，可抽象地表为

${\displaystyle G(\chi ,\psi )=\sum _{r\in R}\chi (r)\psi (r)}$

其中 ${\displaystyle R}$ 为有限交换环，${\displaystyle \psi :(R,+)\to \mathbb {S} ^{1}}$ 为同态，${\displaystyle \chi :(R^{\times },*)\to \mathbb {S} ^{1}}$ 亦为同态，对于 ${\displaystyle r\notin R^{\times }}$，可定义 ${\displaystyle \chi (r)=0}$。

这类有限和常见于代数数论与解析数论。此时通常取 ${\displaystyle R:=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$，特征 ${\displaystyle \psi }$ 必为 ${\displaystyle \psi (x)=e^{2\pi i\alpha x/n}}$ 之形式（${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} }$），此处的 ${\displaystyle \chi }$ 不外是一个狄利克雷特征。这类高斯和有时也记为 ${\displaystyle \tau _{\alpha }(\chi )}$，出现于狄利克雷L函数的函数方程中。

高斯和的绝对值可透过抽象调和分析的方法导出，其确切值则较难确定。高斯首先算出了二次高斯和，此时取 ${\displaystyle R=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$，其中 ${\displaystyle p}$ 为素数，并取 ${\displaystyle \chi (x):=\left({\frac {x}{p}}\right)}$ 为勒让德符号。高斯和遂化为下述指数和：

${\displaystyle \tau _{\alpha }=\sum _{x=0}^{p-1}e^{2\pi i\alpha x^{2}/p}}$

高斯得到的结果是：

${\displaystyle \tau _{\alpha }={\begin{cases}\left({\frac {\alpha }{p}}\right){\sqrt {p}},&p\equiv 1\mod 4\\\left({\frac {\alpha }{p}}\right)i{\sqrt {p}},&p\equiv 3\mod 4\end{cases}}}$

由此可导出二次互反律的一种证明；二次高斯和也与Theta 函数理论相关。