调和分析

调和分析，也称为谐波分析（英语：Harmonic analysis），是数学中的一个分支，是由基本波的叠加来表示其他函数或是信号，并且研究及扩展傅里叶级数及傅里叶变换（也是傅里叶分析的扩展）。自十九世纪以来，调和分析已用在许多的领域中，像是信号处理、量子力学、潮汐理论（英语：Theory of tides）及神经科学。

光的调和分析。图中是红光和其他波长光线的相互作用。若波长差为λ/2（半波长），红光完全的和二次谐波紫光同相位。图中所有其他的光和红光的波长差都小于λ/2，因此合成波中会出现谐波振荡。若波长差是λ/14，每14个周期都会出现一次振荡。若波长差是λ/8，每8个周期都会出现一次振荡。振荡在λ/4波长差时最为频繁，每4个周期出现一次振荡，若波长差为λ/3，每7个周期出现一次振荡。若波长差为λ/2.5，每13个周期出现一次振荡。

Rn以下的经典傅里叶变换目前仍然是一个正在研究的领域，特别是将傅里叶变换应用在一些较广义的概念下，例如缓增广义函数（tempered distribution）。例如若在某一分布f上加上一些条件，也会试图将此条件转换到f的傅里叶变换上。培力-威纳定理（英语：Paley–Wiener theorem）即为此例。培力-威纳定理指出若f是一个紧支撑下的非零分布（这里包括紧支撑下的函数），则其傅里叶变换一定不会是紧支撑。这是调和分析下不确定性原理的一个基本形式。

调和分析中的调和（harmonic，或称为谐波）起源自古希腊文harmonikos，意思是“有音乐上的技巧”[1]。在物理的特征值问题中，开始用harmonic一词表示某些特定的波，其频率是其他波频率的整数倍，就像泛音列的频率是第一泛音的整数倍一様，后来这个词也渐渐扩展，超过原来的意思。

傅里叶级数也常用希尔伯特空间的方式来进行研究，因此调和分析和泛函分析也有一些关系。

抽象调和分析

调和分析中最现代的一个分支，是在二十世纪中出现的，是对拓扑群的分析。其核心概念是许多不同的傅里叶变换，可以扩展为定义在豪斯多夫局部紧致群（英语：locally compact group）上的函数变换。

阿贝尔局部紧致群（英语：locally compact group）的调和分析称为庞特里亚金对偶性。

调和分析研究对偶性和傅里叶变换的性质，设法将其性质延伸到不同的情形下（例如非阿贝尔的李群）。

对于一般性非阿贝尔的局部紧致群，调和分析和幺正表现理论有密切关系。若是紧致群，彼得-魏尔定理可以解释在每一个等价表现中，要如何选择不可约表现来得到调和函数。调和函数的选择可以用到一些传统傅里叶变换的特性，例如用单点的乘积来进行卷积，或是对于其底层群的结构有更多的认识。可参考非交换调和分析（英语：Non-commutative harmonic analysis）。

若此群不是阿贝尔群，也不是紧致群，目前还没有找到令人满意（至少要像普兰切雷尔定理（英语：Plancherel theorem）一样有力）的理论。不过目前已分析了许多特例，例如SLn（英语：Special linear group）。在此例中，无限维度的群表示论扮演了重要角色。

其他分支

相关条目

参考资料

  1. ^ 存档副本. [2017-01-07]. （原始内容存档于2017-03-14）. 
  2. ^ Terras, Audrey. Harmonic Analysis on Symmetric Spaces-Euclidean Space, the Sphere, and the Poincaré Upper Half-Plane 2nd. New York, NY: Springer. 2013: 37 [12 December 2017]. ISBN 978-1461479710. （原始内容存档于2022-05-04）.