有限域

• 有限域的阶（有限域中元素的个数）是一个素数的幂。
• 对于每个素数p和每个正整数n在同构的意义下存在惟一的${\displaystyle p^{n}}$ 阶的有限域，并且所有元素都是方程 ${\displaystyle x^{p^{n}}-x=0}$  的根，该域的特征为p。
• 有限域的乘法群是循环群。即若F是有限域，则存在${\displaystyle \alpha \in F}$ 使得${\displaystyle F^{*}=\{x\in F|x\neq 0\}=\langle \alpha \rangle }$ 
• 有限域是完美域，即它的任何代数扩张一定是可分扩张
• 有限域的有限扩张一定是伽罗瓦扩张，并且对应的伽罗瓦群是循环群。

设 q = pⁿ 为素数幂， F 为多项式

${\displaystyle P=X^{q}-X}$ 

于素数域 GF(p) 上的分裂域。换言之， F 是最低阶的有限域，使得 P 在 F 内有 q 个互异的根（注意 P 的形式导数（英语：formal derivative）为 ${\displaystyle -1\neq 0}$  ，因此 P 无重根）。

利用二项式定理，可证恒等式

${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$ 

在特征为 p 的域上成立（中一新生之梦）。此恒等式说明 P 任两根之和或积仍为 P 的根。同时， P 的根的乘法逆元仍是根，因此 P 的根构成一个 q 阶的域。由 F 的最小性，可知此域即为 F。

由于分裂域在同构意义下唯一， q 阶域也在同构意义下唯一（已证其为 ${\displaystyle P=X^{q}-X}$  的分裂域）。而且，若域 F 有一个阶为 ${\displaystyle q=p^{k}}$  的子域，则其元素恰为 ${\displaystyle X^{q}-X}$  的 q 个根，所以 F 不能包含另一个阶为 q 的子域。

E·H·摩尔于 1893 年证明了以下的分类定理，可作为本节的总结：^[1]

有限域的阶为素数幂。对任意一个素数幂 q, 都存在 q 阶的域，并且任意两个 q 阶的域都同构。该些域中，任意的元素 x 都满足

${\displaystyle x^{q}=x,}$ 

且多项式 X^q − X 可分解成

${\displaystyle X^{q}-X=\prod _{a\in F}(X-a).}$ 

由此可知，GF(pⁿ) 有同构于 GF(p^m) 的子域当且仅当 m 整除 n；该情况下，仅有唯一的子域与 GF(p^m) 同构。多项式 X^pm − X 整除 X^pn − X 也是当且仅当 m 整除 n.

设 p 为素数， q = pⁿ 为素数幂。

在 GF(q) 中，恒等式 (x + y)^p = x^p + y^p 说明映射

${\displaystyle \varphi :x\mapsto x^{p}}$ 

是 GF(q) 上 GF(p)-线性的域自同构，其保持子域 GF(p) 的元素。该映射称为弗罗贝尼乌斯自同构，得名于费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯。

记 φ^k 为 φ 的 k 次迭代，则

${\displaystyle \varphi ^{k}:x\mapsto x^{p^{k}}.}$ 

此前已证明 φⁿ 为恒同映射。若 0 < k < n, 则自同构 φ^k 并非恒同映射，否则多项式

${\displaystyle X^{p^{k}}-X}$ 

就有多于 p^k 个根，矛盾。

此外 GF(q) 并无其他 GF(p)-自同构。换言之，GF(pⁿ) 恰有 n 个 GF(p)-自同构，其为

${\displaystyle \mathrm {Id} =\varphi ^{0},\varphi ,\varphi ^{2},\ldots ,\varphi ^{n-1}.}$ 

以伽罗瓦理论观之， GF(pⁿ) 是 GF(p) 的伽罗瓦扩展，且其伽罗瓦群为循环群。

弗罗贝尼乌斯映射为满射，因此任意一个有限域都是完美域（英语：perfect field）。

F₂:

F₃:

F₄: 考虑${\displaystyle x^{2}+x+1=0,}$  方程的根不在F₂中。记其中一根为A, 则${\displaystyle A^{2}+A+1=0,}$ 且另一根为 ${\displaystyle B=A^{2}.}$ 

• 《近世代数》

• 域论