伽罗瓦群 （法语：Groupe de Galois ）是抽象代数 中域论 的概念，表示与某个类型的域扩张 相伴的群 ，是伽罗瓦理论 的基础概念。域扩张源于多项式 。通过伽罗瓦群研究域扩张以及多项式 的理论，称为伽罗瓦理论 ，是十九世纪法国 数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦 为了解决“高次多项式方程是否有根式解”的问题而创造的。后世也以他的名字命名相关的概念。
用置换群 更初等地讨论伽罗瓦群，参见伽罗瓦理论 一文。
定义
设有域扩张 L/K L K- 自同构 集合。此处的K- 自同构 指的是L L K 恒等映射 ）。用数学语言描述，一个K- 自同构 是指满足以下条件的同态 σ [1] :15-16 [2] :125 ：
σ L L 双射 。σ 域同态 ，即：
∀
a
,
b
,
∈
L
,
σ
(
a
+
b
)
=
σ
(
a
)
+
σ
(
b
)
,
σ
(
a
b
)
=
σ
(
a
)
σ
(
b
)
.
{\displaystyle \forall a,b,\in L,\;\sigma (a+b)=\sigma (a)+\sigma (b),\;\sigma (ab)=\sigma (a)\sigma (b).}
σ K
∀
x
∈
K
,
σ
(
x
)
=
x
.
{\displaystyle \forall x\in K,\;\sigma (x)=x.}
可以证明，对任意的域扩张L/K L K- 自同构 关于映射的复合运算构成群 ，称为域扩张L/K Aut(L/K ) [1] :16 。
如果L/K 伽罗瓦扩张 ，则Aut(L/K ) L/K 伽罗瓦群 ，通常记做 Gal(L/K ) Gal(L : K ) [1] :16 。
在某些介绍伽罗瓦理论的专著中，也会将任何域扩张上的自同构群都称为伽罗瓦群，并记作Gal(L/K ) σ [2] :125 。
例子
设F
Q
,
R
,
C
{\displaystyle \mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }
有理数 、实数 与复数 域。F (a )F a 生成 的域扩张。
F/F 可分 正规扩张 ，即伽罗瓦扩张。其伽罗瓦群Gal(F /F )
C
/
R
{\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }
G
a
l
(
C
/
R
)
{\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )}
复共轭 自同构[2] :127 。
R
/
Q
{\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }
G
a
l
(
R
/
Q
)
{\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbb {R} /\mathbb {Q} )}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
序结构 。也就是说，只要某个自同构σ a < b σ (a ) < σ (b )
C
/
Q
{\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Q} }
Q
(
2
)
/
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }
G
a
l
(
Q
(
2
)
/
Q
)
{\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )}
√2 -√2 [2] :127 。考虑域
K
=
Q
(
2
3
)
{\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}
K
/
Q
{\displaystyle K/\mathbb {Q} }
正规扩张 ，故不是伽罗瓦扩张。其自同构群
A
u
t
(
K
/
Q
)
{\displaystyle \mathrm {Aut} (K/\mathbb {Q} )}
[2] :127 。
现在考虑
L
=
Q
(
2
3
,
ω
)
{\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega )}
ω 本原三次单位根 。L P = X 3 - 2分裂域 ，因此是伽罗瓦扩张。其伽罗瓦群
G
a
l
(
K
/
Q
)
{\displaystyle \mathrm {Gal} (K/\mathbb {Q} )}
3次置换群 S 3 。这个群是可解群 ，意味着多项式方程X 3 - 2 = 0[1] :52-53 。 基本性质
设有域扩张L/K Aut(L/K )
设P K α L σ α P [2] :126 。
如果L/K
α
1
,
α
2
,
⋯
,
α
m
∈
L
{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{m}\in L}
L = K (α 1 , α 2 , ... , αm )σ σ (α 1 ), σ (α 2 ), ... , σ (αm ))σ L [2] :126 。
有限扩张的自同构群是有限群 [2] :126 ，其元素个数|Aut(L/K )| 整除 扩张次数[L : K ] [L : K ] L/K [2] :150 。 设域扩张L/K 伽罗瓦理论基本定理 的情况下证明。
|
G
a
l
(
L
/
K
)
|
=
[
L
:
K
]
{\displaystyle |\mathrm {Gal} (L/K)|=[L:K]}
[2] :130 令
G
=
G
a
l
(
L
/
K
)
{\displaystyle G=\mathrm {Gal} (L/K)}
G
L
G
=
{
x
∈
L
|
∀
σ
∈
G
,
σ
(
x
)
=
x
}
{\displaystyle L^{G}=\{x\in L|\forall \sigma \in G,\sigma (x)=x\}}
K L/K K [2] :150
设F LF
G
a
l
(
L
F
/
F
)
↪
G
a
l
(
L
/
K
)
{\displaystyle \mathrm {Gal} (LF/F)\hookrightarrow \mathrm {Gal} (L/K)}
Gal(LF/F ) Gal(L/K ) 子群 同构 。（由正规扩张 和可分扩张 的性质，KF/F Gal(LF/F ) 伽罗瓦扩张的重要性在于，有限的伽罗瓦扩张满足伽罗瓦理论基本定理 ：伽罗瓦群的子群与域扩张的中间域之间存在着反向包含的一一对应关系。
如果Gal(L/K ) Gal(L/K ) 拓扑 ，称为克鲁尔拓扑 投射有限群 Gal(L/K ) 闭 子群与域扩张的中间域存在着反向包含的一一对应关系，有类似伽罗瓦理论基本定理的结论。
参见 参考来源 外部链接