序理论

次序无所不在——至少在数学和相关领域比如计算机科学是这样。你典型遇到的第一个次序是小学数学教育中的自然数的次序。这个直觉概念很容易扩展到其他数的集合的排序，比如整数和实数。实际上大于或小于另一个数的概念一般是数系统的基本直觉（尽管你通常还感兴趣于两个数实际的差，它不能由这个次序给出）。排序的另一个非常熟悉的例子是词典中词典次序。

上述类型的次序有特殊性质：每个元素都是可以“比较”于另一个元素，就是说，它或者大于、或者小于、或者等于另一个元素。但是，这不总是想要的要求。一个周知的例子是集合的子集排序。如果一个集合${\displaystyle A}$ 包含集合${\displaystyle B}$ 的所有元素，则${\displaystyle B}$ 被称为小于等于${\displaystyle A}$ 。然而有些集合不能在这种方式来比较，因为其中每个都包含着其他集合中不存在的某些元素。所以，子集包含是偏次序，对立了前面给出的全次序。

序理论在一般性架构下捕获了上述例子引发的直觉次序。这是通过指定关系${\displaystyle \leq }$ 必须是数学上次序的一些性质来完成的。这种更加抽象的方式更有意义，因为你可以从一般性架构推导出各种定理，而不用关心任何特定次序的细节。这种洞察可以容易的转换到很多具体应用中。

由次序的各种实践使用所驱动，已经定义了多个特殊种类的有序集合，其中某些已经发展出自己的数学领域。此外，序理论不限制于各种种类的排序关系，还考虑在它们之间的适当的函数。函数的序理论的性质的一个简单例子来自在数学分析中常见的单调函数。

此部分我们建立一些概念作为导引：集合论、算术和二元关系。

偏序集合

序是特别的二元关系。假定${\displaystyle P}$ 是一集合，且${\displaystyle \leq }$ 是在${\displaystyle P}$ 的关系，则${\displaystyle \leq }$ 是个偏序当他是自反的，反对称的，且递移的，则，对于所有${\displaystyle a,b}$ 和${\displaystyle c}$ 于${\displaystyle P}$ ，皆能满足：

${\displaystyle a\leq a}$ （自反的）

如果${\displaystyle a\leq b}$ 并且${\displaystyle b\leq a}$ 则${\displaystyle a=b}$ （反对称性）

如果${\displaystyle a\leq b}$ 并且${\displaystyle b\leq c}$ 则${\displaystyle a\leq c}$ （递移性）

一个偏序性质的集合称为偏序集合、poset或是有序集合（当其所强调的意指明确）。借由查看这些性质，我们能知道在自然数、整数、有理数、以致于实数皆有明确的序关系。当然，它们还有额外的性质成为全序，即在${\displaystyle P}$ 中对于每一个a和b皆能满足：

${\displaystyle a\leq b}$ 或${\displaystyle b\leq a}$ （全序性）

这些序又称为线性序或链。当许多典型序为线性，集合内的有序子集合会发生不满足此性质的例子。另一个例子为给定一个整除性关系"${\displaystyle |}$ "。对于两个数${\displaystyle n}$ 和${\displaystyle m}$ ，当${\displaystyle m}$ 除以${\displaystyle n}$ 未留余数时，我们书写为${\displaystyle n|m}$ ，我们可轻易的明白这是一个偏序关系。非常多进阶的性质主要在于非线性序中。

• Orders at ProvenMath（页面存档备份，存于互联网档案馆） partial order, linear order, well order, initial segment; formal definitions and proofs within the axioms of set theory.

• 格 (数学)
• 域理论
• 偏序关系
• 全序关系
• 预序关系