预序关系

考虑集合 P 及其上的二元关系 ${\displaystyle \lesssim }$ 。若 ${\displaystyle \lesssim }$  具有自反性和传递性，则称 ${\displaystyle \lesssim }$  为预序。具体来说，对任意 P 的元素 a，b 和 c，下列性质成立：

a ${\displaystyle \lesssim }$  a (自反性)

若 a ${\displaystyle \lesssim }$  b 且 b ${\displaystyle \lesssim }$  c，则 a ${\displaystyle \lesssim }$  c (传递性)

带预序的集合称为预序集合。同时满足反对称性（若 a ${\displaystyle \lesssim }$  b 且 b ${\displaystyle \lesssim }$  a，则 a = b）的预序为偏序。

作为特例，空集上的空关系为一预序。空集加上空关系构成一预序集。

将预序集的等价元素等同起来，可得到由该预序集所导出的偏序集。具体过程如下：定义预序集 X 上的等价关系 ${\displaystyle \sim \,}$ ，使得 a ${\displaystyle \sim \,}$  b 当且仅当 a ${\displaystyle \lesssim }$  b 且 b ${\displaystyle \lesssim }$  a。定义所得商集 ${\displaystyle X/\mathrm {\sim } }$ （所有 ${\displaystyle \sim \,}$  的等价类构成的集合）上的序关系 ${\displaystyle \leq }$  ，使得[x] ${\displaystyle \leq }$  [y] 当且仅当 x ${\displaystyle \lesssim }$  y。由 ${\displaystyle \sim \,}$  的构造可知，${\displaystyle \leq }$  的定义与所选等价类的代表元素无关，故上述定义明确。易证该关系为一偏序。

• 拓扑学中，网收敛的定义使用预序比使用偏序可避免重要特征的丢失。
• 可数全序的嵌入关系。
• 图论中的图子式关系（罗伯逊-西摩定理（英语：Robertson–Seymour theorem））
• 多种经济学模型的偏好。