有向集合
在数学中,有向集合(也叫有向预序或过滤集合),是一个具有预序关系(自反及传递之二元关系 ≤)的非空集合 A,而且每一对元素都会有个上界[1],亦即对于 A 中任意两个元素 a 和 b,存在着 A 中的一个元素 c(不必然不同于 a,b),使得 a ≤ c 和 b ≤ c(有向性)。
有向集合是非空全序集合的广义化,亦即所有的全序集合都会是有向集合(偏序集合则不一定是有向的)。在拓扑学里,有向集合被用来定义网,一种广义化序列且统合用于数学分析中各式极限的概念。有向集合亦在抽象代数及(更一般的)范畴论中被用来产生有向极限这类的概念。
应用
例子
有向集合的例子有:
- 带有普通次序 ≤ 的自然数的集合 N 是一个有向集合(也是全序集合)。
- 如果 x0 是实数,我们可以把 R - {x0} 集合变成有向集合,通过写 a ≤ b 当且仅当 |a - x0| ≥ |b - x0|。我们说实数已经被导向了 x0。这不是偏序。
- 如果 T 是一个拓扑空间而 x0 是 T 中的一个点,我们可以把 x0 的所有邻域的集合变成有向集合,通过写 U ≤ V 当且仅当 U 包含 V。
- 对于所有 U: U ≤ U;因为 U 包含自身。
- 对于所有 U,V,W:如果 U ≤ V 而 V ≤ W,则 U ≤ W;因为如果 U 包含 V 而 V 包含 W 则 U 包含 W。
- 对于所有 U, V:存在着集合 U V 使得 U ≤ U V 并且 V ≤ U V;因为 U 和 V 二者都包含 U V。
- 在偏序集合 P 中,所有形如 {a| a P, a ≤x} 的子集都是有向的,这里 x 是 P 的一个固定的元素。
对比于半格
有向集合是比(并)半格更弱的(更一般的)概念:所有并半格都是有向集合,两个元素的并就是想要的 c。
但是有向集合不要求极小性:可以有很多其他这样的 c。
有向子集
有向集合不需要是反对称的,并且一般不是偏序的。但是这个术语也经常用在偏序集合的上下文中。在这种情况下,偏序集合(P,≤)的子集 A 叫做有向子集,当且仅当
- A 不是空集,
- 对于 A 中任何两个 a 和 b,存在 A 中的一个 c 有着 a ≤ c 和 b ≤ c(有向性),
这里 A 的元素的次序继承自 P。为此,自反性和传递性不需要明确的要求。
参见
参考资料
- ^ Kelley, p. 65.