是 的一个正规扩张,因为它是 上的多项式 的分裂域。然而, 并不是 的一个正规扩张,因为 上的不可约多项式 有一个根: 在 里面,但它的另外两个根: 和 都是复数,不在 里面。只有在加入了三次单位根: 后的扩域 才是一个正规扩张。
也可以用正规扩张的第二个定义来证明 不是 的正规扩张。设域 是由所有复代数数生成的扩域,则 是 的一个代数闭包,并且 在 里面。另一方面,
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并且,如果记 是 的复根之一,那么映射:
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是 在 上的一个嵌入,并且它限制在 上的部分是平凡的(将 中元素映射到自己)。但是σ并不是 上的自同构。
更一般地,对每一个素数p,域扩张 都是 的一个正规扩张,扩张的次数是p(p - 1)。 是 上的多项式 的分裂域。其中的 是任意一个复数p次单位根。