术语与定义
称一个系数域为 的多项式 在 的某个扩域 中分裂,当且仅当这个多项式可以用这个域中的元素来分解(分裂)成最简单的一次因式的乘积:
-
其中的 , 。换句话来说, 的根都在 中。
使得 在其中分裂的扩域 有很多,譬如对于某个使得 分裂的的 ,它任意的扩域 也都满足。然而其中“最小”的域在同构意义上是唯一的。所谓的“最小”域,是指这样的一个扩域 :
- 在 里, ,可以分解为一次因式的乘积;
- 在 的任何真子域(不等于自身)里, 都无法如此分解。这样的扩域称为 在 上的分裂域。
例子
如果 是有理数域 ,多项式为
那么其分裂域 可以是在 中添加三次单位根 和2的立方根而得到的扩域: 。因为这时 可以写作:
-
同一个多项式在不同的域上的分裂域不一定相同,比如:
- 多项式 在实数域 R上的分裂域是复数域 C。
- 多项式 在准有限域 GF7上的分裂域是GF72.
多项式 在准有限域 GF7上的分裂域是GF7,因为在其上 已经分解完毕。
性质
给定多项式 ,在 上的分裂域 ,假设在 里 ,分解为
-
那么 。
对于域 的一个代数闭域扩域 和 上的一个多项式 ,存在 在 上的唯一的一个分裂域 ,使得 。
对于 的一个可分扩张 , 的伽罗瓦闭包是一个分裂域,也是 的包含 的一个“最小”的伽罗瓦扩张。这样的一个伽罗瓦闭包包含了 中任意元素 ,在 上的极小多项式在 上的分裂域。
参见
参考来源
- Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. 编辑