极小多项式

设 ${\displaystyle k}$  为一个域，${\displaystyle A}$  为有限维 ${\displaystyle k}$ -代数。对任一元素 ${\displaystyle \alpha \in A}$ ，集合 ${\displaystyle \{1,\alpha ,\alpha ^{2},\ldots \}}$  张出有限维向量空间，所以存在非平凡的线性关系 ：

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}\alpha ^{i}=0\quad (c_{i}\in k)}$ 

可以假设 ${\displaystyle c_{n}=1}$ ，此时多项式 ${\displaystyle f(X):=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}}$  满足 ${\displaystyle f(\alpha )=0}$ 。根据多项式环里的除法，可知这类多项式中只有一个次数最小者，称之为 ${\displaystyle \alpha }$  的极小多项式。

由此可导出极小多项式的次数等于 ${\displaystyle \dim _{k}k[\alpha ]}$ ，而且 ${\displaystyle \alpha }$  可逆当且仅当其极小多项式之常数项非零，此时 ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$  可以表成 ${\displaystyle \alpha }$  的多项式。

考虑所有 ${\displaystyle n\times n}$  矩阵构成的 ${\displaystyle k}$ -代数 ${\displaystyle M_{n}(k)}$ ，由于 ${\displaystyle \dim M_{n}(k)=n^{2}}$ ，此时可定义一个${\displaystyle n\times n}$  矩阵之极小多项式，而且其次数至多为 ${\displaystyle n^{2}}$ ；事实上，根据凯莱-哈密顿定理，可知其次数至多为 ${\displaystyle n}$ ，且其根属于该矩阵的特征值集。

极小多项式是矩阵分类理论（若尔当标准型、有理标准形）的关键。

设 ${\displaystyle k'}$  为 ${\displaystyle k}$  的有限扩张，此时可视 ${\displaystyle k'}$  为有限维 ${\displaystyle k}$ -代数。根据域的性质，极小多项式必为素多项式。元素的迹数及范数等不变量可以从极小多项式的系数读出。