代数扩张

代数扩张的基础是代数元的概念。给定域扩张L/K，L某个元素如果是一个以K中元素为系数的非零多项式的根，则称其为K上的代数元。如果L中所有元素都是K上的代数元，就称域扩张L/K为代数扩张。

设有域扩张L/K，L可以看作是K上的向量空间，将其维度称作这个扩张的次数，记作[L:K]。有限次数的扩张（简称有限扩张）都是代数扩张；反之，给定一个代数扩张L/K，则L里的任一元素α生成的子扩张K(α)/K都是K的有限扩张。但代数扩张本身并不一定是有限扩张，一个代数扩张可表作有限子扩张的归纳极限。

在一个代数扩张L/K中，L中的每个元素α都是某个以K中元素为系数的多项式（以下简称K-多项式，所有K-多项式的集合记作K[X]）f的根。所有以α为根的K-多项式中次数最低者称作α的极小多项式（通常要求其为首一多项式，即最高次项系数等于一，以保证唯一性）。极小多项式总是不可约多项式。

若K-多项式f不可约，则商环L := K[X]/( f )是K的一个域扩张，它的次数[L : K] = deg(f)，而且不定元X在商环中的像是在f的一个在L中的根，其极小多项式正是f。通过这种构造，我们可抽象地加入某个多项式的根。例如${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}$ 就是在实数域中添加了虚数单位i得到的扩域：复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$ 。

给定域扩张L/K，如果K-多项式f可以在L中分解成一次因子的积，则称f在L中分裂。根据上述构造，总是可以找到一个足够大的代数扩张K'/K使得f分裂；K'里满足此性质的“最小”子扩张称作f在K上的分裂域。f在K上的任两个分裂域至多差一个K上的同构（即：一个限制在K上的部分为恒等映射的环同构）。

正规扩张是研究多项式的根时所用到的概念。一个代数扩张L/K被称作正规扩张，当且仅当它满足下述三个等价条件之一：

• 固定代数闭包K^alg，任何K上的（即在K上是恒等映射的）域嵌入σ : L → K^alg，都有σ(L) = L。
• 存在一族在L上分裂的多项式${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}\subset K[X]}$ ，使得L/K是在K中添加它们的根生成的域扩张。
• K[X]中任何不可约多项式若在L里有根，则在L里分裂（全部的根都在L里面）。

正规扩张可以看作是域扩张语言中对多项式的刻画。一个正规扩张对应着K[X]里的一个多项式。

例子

• ${\displaystyle x^{2}+1\,}$  在${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的分裂域是${\displaystyle \mathbb {C} }$ 。
• ${\displaystyle x^{3}+2\,}$  在${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上的分裂域是${\displaystyle \mathbb {Q} (e^{{\frac {2}{3}}\pi {\rm {i}}},{\sqrt[{3}]{2}})}$ 。
• ${\displaystyle (x^{2}-2)(x^{2}-3)\,}$  在${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上的分裂域是${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})}$ 。
• ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }$  是正规域扩张， ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})/\mathbb {Q} }$ 却不是，因为后者并没有包括${\displaystyle x^{3}-2\,}$ 的所有根，欠了${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}e^{{\frac {2}{3}}\pi {\rm {i}}},{\sqrt[{3}]{2}}e^{-{\frac {2}{3}}\pi {\rm {i}}}}$ 。

设L/K为代数扩张，如果α的极小多项式没有重根，则称α可分（重根的存在性与域扩张的选取无关，可分性等价于(f, f' ) = 1，这可以直接在K中计算）。所有可分元素形成一个中间域K⊂F⊂L，[L : K]_s := [L_s : K]称作L/K的可分次数。若L_s = ; L，则称L/K是可分扩张。

当L/K是有限扩张时，定义不可分次数[L : K]_i := [L : K]/[L : K]_s。当基域的特征为零时，任何代数扩张都是可分的；任何有限域的扩张也都是可分的。

• Serge Lang, Algebra (2002), Springer-Verlag. 编辑
  • 简介 Galois 理论 /李华介 （页面存档备份，存于互联网档案馆）