代数闭域

举例明之，实数域并非代数闭域，因为下列实系数多项式无实根：

${\displaystyle x^{2}+1=0}$ 

同理可证有理数域非代数闭域。此外，有限域也不是代数闭域，因为若${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ 列出${\displaystyle F}$ 的所有元素，则下列多项式在${\displaystyle F}$ 中没有根：

${\displaystyle (x-a_{1})(x-a_{2})\cdots (x-a_{n})+1\,}$ 

反之，复数域则是代数闭域；这是代数基本定理的内容。另一个代数闭域之例子是代数数域。

给定一个域${\displaystyle F}$ ，其代数封闭性与下列每一个性质等价：

不可约多项式当且仅当一次多项式

域F是代数闭域，当且仅当环F[x]中的不可约多项式是而且只能是一次多项式。

“一次多项式是不可约的”的断言对于任何域都是正确的。如果F是代数闭域，p(x)是F[x]的一个不可约多项式，那么它有某个根a，因此p(x)是x − a的一个倍数。由于p(x)是不可约的，这意味着对于某个k ∈ F \ {0}，有p(x) = k(x − a)。另一方面，如果F不是代数闭域，那么存在F[x]内的某个非常数多项式p(x)在F内没有根。设q(x)为p(x)的某个不可约因子。由于p(x)在F内没有根，因此q(x)在F内也没有根。所以，q(x)的次数大于一，因为每一个一次多项式在F内都有一个根。

每一个多项式都是一次多项式的乘积

域F是代数闭域，当且仅当每一个系数位于次数F内的n ≥ 1的多项式p(x)都可以分解成线性因子。也就是说，存在域F的元素k， x₁， x₂， ……， x_n，使得p(x) = k(x − x₁)(x − x₂) ··· (x − x_n)。

如果F具有这个性质，那么显然F[x]内的每一个非常数多项式在F内都有根；也就是说，F是代数闭域。另一方面，如果F是代数闭域，那么根据前一个性质，以及对于任何域K，任何K[x]内的多项式都可以写成不可约多项式的乘积，推出这个性质对F成立。

Fⁿ的每一个自同态都有特征向量

域F是代数闭域，当且仅当对于每一个自然数n，任何从Fⁿ到它本身的线性映射都有某个特征向量。

Fⁿ的自同态具有特征向量，当且仅当它的特征多项式具有某个根。因此，如果F是代数闭域，每一个Fⁿ的自同态都有特征向量。另一方面，如果每一个Fⁿ的自同态都有特征向量，设p(x)为F[x]的一个元素。除以它的首项系数，我们便得到了另外一个多项式q(x)，它有根当且仅当p(x)有根。但如果q(x) = xⁿ + a_n − 1x^n − 1+ ··· + a₀，那么q(x)是以下友矩阵的特征多项式：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}.}$ 

有理表达式的分解

域F是代数闭域，当且仅当每一个系数位于F内的一元有理函数都可以写成一个多项式函数与若干个形为a/(x − b)ⁿ的有理函数之和，其中n是自然数，a和b是F的元素。

如果F是代数闭域，那么由于F[x]内的不可约多项式都是一次的，根据部分分式分解的定理，以上的性质成立。

而另一方面，假设以上的性质对于域F成立。设p(x)为F[x]内的一个不可约元素。那么有理函数1/p可以写成多项式函数q与若干个形为a/(x − b)ⁿ的有理函数之和。因此，有理表达式

${\displaystyle {\frac {1}{p(x)}}-q(x)={\frac {1-p(x)q(x)}{p(x)}}}$ 

可以写成两个多项式的商，其中分母是一次多项式的乘积。由于p(x)是不可约的，它一定能整除这个乘积，因此它也一定是一个一次多项式。

设${\displaystyle E\supset F}$ 为代数扩张，且${\displaystyle E}$ 是代数闭域，则称${\displaystyle E}$ 是${\displaystyle F}$ 的一个代数闭包。可以视之为包含${\displaystyle F}$ 的最小的代数闭域。

若我们承认佐恩引理（或其任一等价陈述），则任何域都有代数闭包。设${\displaystyle E,E^{\prime }}${\displaystyle E,E'}  为任两个${\displaystyle F}$ 的代数闭包，则存在环同构${\displaystyle \sigma :E{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}E'}$ 使得${\displaystyle \sigma |_{F}=\mathrm {id} _{F}}$ ；代数闭包在此意义上是唯一的，通常记作 ${\displaystyle F^{\mathrm {alg} }}$  或${\displaystyle {\bar {F}}}$ 。

• S. Lang, Algebra, Springer-Verlag, 2004, ISBN 0-387-95385-X
• Bartel Leendert van der Waerden 和 B. L. van der Waerden, Algebra I, Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97424-5