P进数

$p$ 进数（英语：p-adic number），是数论中的概念，也称作局部数域，是有理数域拓展成的完备数域的一种。这种拓展与常见的有理数域 $\mathbb {Q}$ 到实数域 $\mathbb {R}$ 、复数域 $\mathbb {C}$ 的数系拓展不同，其具体在于所定义的“距离”概念。 $p$ 进数的距离概念建立在整数的整除性质上。给定素数 $p$ ，若两个数之差被 $p$ 的高次幂整除，那么这两个数距离就“接近”，幂次越高，距离越近。这种定义在数论性质上的“距离”能够反映同余的信息，使 $p$ 进数理论成为了数论研究中的有力工具。

3进整数相互关系图示

各种各样的数

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正数 $\mathbb {R} ^{+}$
自然数 $\mathbb {N}$
正整数 $\mathbb {Z} ^{+}$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb {Q}$
代数数 $\mathbb {A}$
实数 $\mathbb {R}$
复数 $\mathbb {C}$
高斯整数 $\mathbb {Z} [i]$

负数 $\mathbb {R} ^{-}$
整数 $\mathbb {Z}$
负整数 $\mathbb {Z} ^{-}$
分数
 单位分数
 二进分数
 规矩数
 无理数
 超越数
 虚数 $\mathbb {I}$
二次无理数
艾森斯坦整数 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元数
 四元数 $\mathbb {H}$
八元数 $\mathbb {O}$
十六元数 $\mathbb {S}$
超实数 $^{*}\mathbb {R}$
大实数
上超实数

双曲复数
 双复数
 复四元数
共四元数（英语：Dual quaternion）
超复数
超数
超现实数

其他

素数 $\mathbb {P}$
可计算数
基数
阿列夫数
 同余
 整数数列
公称值

规矩数
 可定义数
 序数
 超限数
 $p$ 进数
 数学常数

圆周率 $\pi =3.14159265$ …
自然对数的底 $e=2.718281828$ …
虚数单位 $i={\sqrt {-{1}}}$
无穷大 $\infty$

$p$ 进数的概念首先由库尔特·亨泽尔于1897年构思并刻画，其发展动机主要是试图将幂级数方法引入到数论中，但现今 $p$ ，将数论和分析的工具结合起来，安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明中就用到了 $p$ 进数理论。此外， $p$ 进数在量子物理学、认知科学、计算机科学等领域都有应用。

预备知识

数系的拓展

数系是人类将自然中的数量关系抽象化得到的代数系统。最早建立的数系是带有加法与乘法的自然数 $\mathbb {N} =\{0,1,2,3\cdots \}$ ，其后引入了负数、分数的概念，形成了有理数 $\mathbb {Q}$ ^[1]^:32。 $\mathbb {Q}$ 是“最小的”能够包容四则运算的代数系统^{[N 1]}，这样的系统在近世代数中称为域^[2]。

度量

数系的拓展中，自然数系到有理数系的拓展是基于代数运算的需求，而有理数系到实数系的拓展则是拓扑学的需要。这里的拓扑指的是为代数体系赋予“形状”，定义“远近”、“长短”等概念，是建立几何和分析结构的基础。一个常见的拓扑学方法是引入“距离”的概念，正式称呼为度量^[3]。最直观的定义是将两个有理数的“距离”（度量） $d$ 定义为两者之差的绝对值：

d(x,y)=|x-y|.

两个有理数之间的度量是一个非负的有理数。也即是说度量 $d$ 是一个从有理数域映射到非负有理数集合的二元函数： $\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {Q} ^{+}=\{x\in \mathbb {Q} ;\;\;x\geqslant 0\}$ 。其中 $\mathbb {Q} ^{+}$ 的大小关系则是有理数域上定义的全序。这个度量基于欧几里得几何，叫做欧几里得度量或绝对值度量^[3]。

完备化

在 ${\displaystyle \mathbb {$

[1]

[N 1]

[2]

[3]