P进数

进数(英语:p-adic number),是数论中的概念,也称作局部数域,是有理数域拓展成的完备数域的一种。这种拓展与常见的有理数域实数域复数域的数系拓展不同,其具体在于所定义的“距离”概念。进数的距离概念建立在整数整除性质上。给定素数,若两个数之差被的高次整除,那么这两个数距离就“接近”,幂次越高,距离越近。这种定义在数论性质上的“距离”能够反映同余的信息,使进数理论成为了数论研究中的有力工具。

3进整数相互关系图示
各种各样的
基本

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延伸
其他

圆周率
自然对数的底
虚数单位
无穷大

进数的概念首先由库尔特·亨泽尔于1897年构思并刻画,其发展动机主要是试图将幂级数方法引入到数论中,但现今进数的影响已远不止于此。例如可以在进数上建立进数分析,将数论和分析的工具结合起来,安德鲁·怀尔斯费马大定理的证明中就用到了进数理论。此外,进数在量子物理学认知科学计算机科学等领域都有应用。

预备知识

数系的拓展

数系是人类将自然中的数量关系抽象化得到的代数系统。最早建立的数系是带有加法与乘法的自然数 ,其后引入了负数分数的概念,形成了有理数 [1]:32 是“最小的”能够包容四则运算的代数系统[N 1],这样的系统在近世代数中称为[2]

度量

数系的拓展中,自然数系到有理数系的拓展是基于代数运算的需求,而有理数系到实数系的拓展则是拓扑学的需要。这里的拓扑指的是为代数体系赋予“形状”,定义“远近”、“长短”等概念,是建立几何分析结构的基础。一个常见的拓扑学方法是引入“距离”的概念,正式称呼为度量[3]。最直观的定义是将两个有理数的“距离”(度量) 定义为两者之差的绝对值

 

两个有理数之间的度量是一个非负的有理数。也即是说度量 是一个从有理数域映射到非负有理数集合的二元函数: 。其中 的大小关系则是有理数域上定义的全序。这个度量基于欧几里得几何,叫做欧几里得度量或绝对值度量[3]

完备化